Use a mudança de variáveis u=x y e v=y / x, e calcule a integral dupla integral duplaD(x^2+2 y^2) d A, sendo D a região do plano xy no primeiro quadrante, delimitada pelas curvas x y=1, x y=2, y=x e y=2 x.

Passo 1

Estamos diante da integral dupla integral duplaD(x^2+2y^2),dA sobre a região D no primeiro quadrante, limitada pelas curvas xy=1, xy=2, y=x e y=2x. O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais duplas: vamos usar o jacobiano para transformar a região e o integrando.

Passo 2

Definimos a mudança de variáveis
u = x,y, v = yx
Para inverter, escrevemos y=v x e substituímos em u=xy, obtendo x^2 = u/v e x=raizu/v. Logo
x = raizuv, y = vraizuv = raizu,v

Passo 3

O jacobiano da transformação é dado por
J = partial(x,y)partial(u,v) = detxu & xv yu & yv = 12v
Isso significa que dA = |J|,du,dv = 12v,du,dv.

Passo 4

Agora mapeamos a região D para o plano (u,v). As fronteiras viram
xy=1Rightarrow u=1, xy=2Rightarrow u=2, y=xRightarrow v=1, y=2xRightarrow v=2
Logo a região transformada é R = (u,v): 1<= u<= 2,;1<= v<= 2.

Passo 5

Expressamos o integrando em termos de u,v:
x^2 + 2y^2 = uv + 2u,v
e montamos a integral transformada:
integral duplaD(x^2+2y^2),dA = integral1^2integral1^2l(uv+2u,vr)12v,dv,du

Passo 6

Para simplificar o integrando, note que
l(uv+2u,vr)12v = ul(12v^2+1r) = u + u2v^2
Assim
integral duplaD(x^2+2y^2),dA = integral1^2integral1^2l(u + u2v^2r),dv,du

Passo 7

Agora executamos a integração:
integral1^2integral1^2l(u + u2v^2r),dv,du = integral1^2l[u(v)|1^2 + u2l(-1vr)|1^2r]du = integral1^2l(u + u4r)du = integral1^25u4,du = 54cdotu^22|1^2 = 158

Resposta

158

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