Use a mudança de variáveis
e
, e calcule a integral dupla
, sendo D a região do plano xy no primeiro quadrante, delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Estamos diante da integral dupla
sobre a região
no primeiro quadrante, limitada pelas curvas
,
,
e
. O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais duplas: vamos usar o jacobiano para transformar a região e o integrando.
Passo 2
Definimos a mudança de variáveis
Para inverter, escrevemos
e substituímos em
, obtendo
e
. Logo
Passo 3
O jacobiano da transformação é dado por
Isso significa que
.
Passo 4
Agora mapeamos a região
para o plano
. As fronteiras viram
Logo a região transformada é
.
Passo 5
Expressamos o integrando em termos de
:
e montamos a integral transformada:
Passo 6
Para simplificar o integrando, note que
Assim
Passo 7
Agora executamos a integração: