Resolva os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hôpital):
;
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
. O conteúdo principal é limite de funções envolvendo raiz quadrada para
, e vamos precisar usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para “racionalizar” a expressão.
Passo 2
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de
, que é
. Assim:
Passo 3
Para seguir, fatoramos
dentro da raiz e lembramos que, para
, vale
. Dividimos numerador e denominador por
:
Passo 4
Como
quando
, o denominador fica
Passo 5
Portanto a expressão vale
$$\frac{3|x|(1-1/x2)}{-2+\sqrt{1+3/x2}}.
$$
Passo 6
Quando
, temos
e
. Assim o denominador tende a
e o numerador cresce como
. Logo o quociente tende a
.
Resposta
-\infty