Resolva os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hôpital):
;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto-inftyl(2x-raizx^2+3r). O conteúdo principal é limite de funções envolvendo raiz quadrada para xtopminfty, e vamos precisar usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para “racionalizar” a expressão.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 2x-raizx^2+3, que é 2x+raizx^2+3. Assim:
2x-raizx^2+3 = (2x-raizx^2+3)(2x+raizx^2+3)2x+raizx^2+3 = 4x^2-(x^2+3)2x+raizx^2+3 = 3x^2-32x+raizx^2+3

Passo 3

Para seguir, fatoramos x^2 dentro da raiz e lembramos que, para xto-infty, vale raizx^2=|x|=-x. Dividimos numerador e denominador por |x|:
3x^2-32x+raizx^2+3 = 3(x^2-1)2x+|x|raiz1+3/x^2 = 3|x|^2l(1-1/x^2r)|x|l(2(x/|x|)+raiz1+3/x^2r)

Passo 4

Como x/|x| = -1 quando xto-infty, o denominador fica
|x|l(-2+raiz1+3/x^2r)

Passo 5

Portanto a expressão vale
$$\frac{3|x|(1-1/x2)}{-2+\sqrt{1+3/x2}}.
$$

Passo 6

Quando xto-infty, temos 1-1/x^2to1 e raiz1+3/x^2to1. Assim o denominador tende a -2+1=-1 e o numerador cresce como 3|x|to+infty. Logo o quociente tende a -infty.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados