Resolva os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hôpital):
lim x 27 x-27raiz[3]x-3;

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite limxto27 x-27raiz[3]x-3. O conteúdo principal é limites envolvendo radicais cúbicos e vamos precisar usar a fatoração de diferença de cubos, já que não podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Lembramos que para quaisquer números a e b vale a identidade a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2), e também faremos a substituição t=raiz[3]x para simplificar.

Passo 2

Definindo t=raiz[3]x, temos x=t^3. Quando xto27, então tto3. Substituindo essas expressões no limite, obtemos:
x-27raiz[3]x-3=t^3-27t-3

Passo 3

Usando a diferença de cubos para fatorar t^3-27:
t^3-27=(t-3)(t^2+3t+9)
Então
t^3-27t-3=(t-3)(t^2+3t+9)t-3=t^2+3t+9(tneq3)

Passo 4

Como o polinômio t^2+3t+9 é contínuo, podemos avaliar o limite fazendo t=3:
3^2+3cdot3+9=9+9+9=27

Resposta

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