Use a fórmula
para calcular a área da região D limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
A questão pede para calcular a área da região D limitada pelas curvas y=3x e y²=9x usando a fórmula de Green específica A(D)=∮_{C_+} x
dy. O conteúdo aqui é aplicação de uma forma de Green que expressa a área diretamente como integral de linha de x
dy ao longo do contorno orientado positivamente. Vamos precisar: achar os pontos de interseção das curvas, determinar a orientação positiva do contorno C_+, decompor C_+ em duas partes (linha e parábola) e parametrizar cada parte para calcular ∫ x
dy.
Passo 2
Primeiro, achamos as interseções entre y=3x e y²=9x. Substituindo y=3x em y²=9x dá (3x)²=9x ⇒9x²=9x ⇒x=0 ou x=1. Para x=0 temos y=0, e para x=1 temos y=3. Logo as curvas se cruzam em (0,0) e (1,3).
Passo 3
Para percorrer C_+ (orientação anti-horária), mantemos a região à esquerda. Observando o gráfico, a região fica entre a parábola x=y²/9 (limite esquerdo) e a reta x=y/3 (limite direito). Assim: parte C₂ é a reta de (0,0) a (1,3), e parte C₁ é a parábola de (1,3) de volta a (0,0).
Passo 4
Na parte C₂ (reta y=3x), parametrizamos por x=t, y=3t, com t de 0 até 1. Então dy=3
dte x=t. A integral fica
[∫_{C₂} x
[∫_{C₂} x
dy = ∫_{0}^{1} t·3
dt = 3 ∫_{0}^{1} t
dt = 3·½ = 3/2.]
Passo 5
Na parte C₁ (parábola y²=9x ou x=y²/9), parametrizamos por y=s, x=s²/9, com s de 3 até 0 (para manter a região à esquerda). Assim dy=ds e x=s²/9. A integral é
[∫_{C₁} x
[∫_{C₁} x
dy = ∫_{3}^{0} (s²/9)
ds = - ∫_{0}^{3} (s²/9)
ds = -
1/9 · (s³/3)|_{0}^{3} = -1/27 ·27 = -1.]
1/9 · (s³/3)|_{0}^{3} = -1/27 ·27 = -1.]
Passo 6
Somando as duas parcelas da integral de linha temos
[∮_{C_+} x
[∮_{C_+} x
dy = 3/2 + (−1) = 1/2.] Portanto, pela fórmula dada, a área de D é 1/2.
Resposta
1/2