Resolva os seguintes limites (sem utilizar a regra de L’Hôpital):
lim x 0 ln (x+3)-ln 3x;

Passo 1

Resumindo, queremos calcular o limite limxto0ln(x+3)-ln3x. O conteúdo envolve propriedades de logaritmos e o limite notável limtto0ln(1+t)t=1, que vai nos ajudar.

Passo 2

Usamos a propriedade de logaritmos ln a - ln b = lnab para reescrever o numerador em termos de um único logaritmo:
ln(x+3)-ln3=lnl(x+33r)=lnl(1+x3r)

Passo 3

Assim, o limite vira
ln(x+3)-ln3x=lnl(1+tfracx3r)x
Para aplicar o limite notável, reescrevemos a fração isolando o fator x/3:
lnl(1+tfracx3r)x=lnl(1+tfracx3r)tfracx3cdot13
Como xto0, temos tfracx3to0 e vale limuto0tfracln(1+u)u=1. Logo, o limite é
1cdot13=13

Resposta

\tfrac{1}{3}

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