Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
a) Resp. y=x-1)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de Cauchy y'=y+1x com condição inicial y(1)=0. O conteúdo é uma equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão de equação linear: subtraindo yx de ambos os lados, temos: y' - 1xy = 1x Aqui p(x)=-tfrac1x e q(x)=tfrac1x.
Passo 3
Calculamos o fator integrante mu(x)=expl(integral p(x),dxr)=expl(integral -tfrac1x,dxr)=exp(-ln|x|)=tfrac1x Essa função torna a equação exata.
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por mu(x)=1/x, obtemos: Pelo método do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de 1xy' - 1x^2y = 1x^2: y/x
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a x: yx = integral 1x^2,dx = -1x + C, onde C é a constante de integração.
Passo 6
Isolando y, temos y = -1 + Cx
Passo 7
Por fim, aplicamos a condição inicial y(1)=0: 0 = -1 + Cimplies C=1 Portanto, a solução é y = x - 1.