Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
a) y^prime & =y+1x y(1) & =0 ( Resp. y=x-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de Cauchy y'=y+1x com condição inicial y(1)=0. O conteúdo é uma equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão de equação linear: subtraindo yx de ambos os lados, temos: y' - 1xy = 1x Aqui p(x)=-tfrac1x e q(x)=tfrac1x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=expl(integral p(x),dxr)=expl(integral -tfrac1x,dxr)=exp(-ln|x|)=tfrac1x Essa função torna a equação exata.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=1/x, obtemos: Pelo método do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de 1xy' - 1x^2y = 1x^2: y/x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x: yx = integral 1x^2,dx = -1x + C, onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, temos y = -1 + Cx

Passo 7

Por fim, aplicamos a condição inicial y(1)=0: 0 = -1 + Cimplies C=1 Portanto, a solução é y = x - 1.

Resposta

y = x - 1

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