Seja alpha(t)=(-raiz22 cos t+raiz33 sen t, raiz22 cos t+raiz33 sen t,-raiz33 sen t), com t in[0,2 pi].
Determine a equação do plano que contém alpha.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica α(t) em R³ e pede para encontrar a equação do plano que contém todos os seus pontos. Isso faz parte de Geometria Analítica, onde vamos usar eliminação de parâmetro para descobrir uma relação linear entre x, y e z.

Passo 2

Chamando as componentes de α(t) = (x(t),
y(t),
z(t)), temos: x(t) = −\tfrac{√2}{2} cos t + \tfrac{√3}{3} sin t, y(t) = \tfrac{√2}{2} cos t + \tfrac{√3}{3} sin t e z(t) = −\tfrac{√3}{3} sin t.

Passo 3

Somando x(t) e y(t) aparece uma expressão simples em função de sin t: x(t) + y(t) = \bigl(−\tfrac{√2}{2} cos t + \tfrac{√3}{3} sin t\bigr) + \bigl(\tfrac{√2}{2} cos t + \tfrac{√3}{3} sin t\bigr) = 2⋅\tfrac{√3}{3} sin t.
Observando z(t) = −\tfrac{√3}{3} sin t, vemos que 2⋅\tfrac{√3}{3} sin t = −2 z(t). Logo, x(t) + y(t) = −2
z(t).

Passo 4

A relação x + y = −2z é a equação do plano em forma implícita. Escrevendo no formato ax + by + cz + d = 0, obtemos x + y + 2z = 0.

Resposta

x + y + 2z = 0

Exercícios relacionados