Resolva os seguintes problemas:
Um circuito RLC em série, com
Ohms,
Farad,
Henry, tem uma voltagem de
volts. Supondo que não haja corrente inicial, nem carga inicial ao ser aplicada inicialmente a voltagem, determine a carga subsegquente no capacitor e a corrrente no circuito.
Um circuito RLC em série, com
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um circuito RLC série com resistência R=6 Ω, indutância L=0,1 H e capacitância C=0,02 F, alimentado por uma tensão constante E(t)=6 V a partir de t=0, sem carga nem corrente iniciais. O objetivo é achar a carga q(t) no capacitor e a corrente i(t) no circuito ao longo do tempo. Vamos usar o modelo de equação diferencial de segunda ordem para circuitos RLC.
Passo 2
Escrevendo a equação diferencial: em um circuito RLC série, a carga q(t) satisfaz
Substituindo L, R, C e E(t) constantes, obtemos
Passo 3
Resolvendo a parte homogênea: consideramos
ou, dividindo por 0,1,
A equação característica é r²+60r+500=0, cujo discriminante é 60²−4·500=1600, gerando raízes reais
Assim, a solução homogênea é
Passo 4
Encontrando a solução particular: buscamos uma q_p constante Q0. Substituindo em Lq’’+Rq’+(1/C)q=E, os termos com derivadas somem zero, sobrando
ou seja
Logo,
A solução geral é
Passo 5
Aplicando as condições iniciais para achar A e B: como não há carga nem corrente em t=0, temos
Resolvendo o sistema
vem B=0,03 e A=-0,15.
Passo 6
Expressando as soluções finais: substituindo A e B em q(t) e derivando para obter i(t)=q’(t), temos
Resposta
q(t)=0,12−0,15e{−10t}+0,03e{−50t} coulomb; i(t)=1,5e{−10t}−1,5e{−50t} ampère.