Resolva os seguintes problemas:
Um circuito RLC em série, com R=6 Ohms, C=0,02 Farad, L=0,1 Henry, tem uma voltagem de E(t)=6 volts. Supondo que não haja corrente inicial, nem carga inicial ao ser aplicada inicialmente a voltagem, determine a carga subsegquente no capacitor e a corrrente no circuito.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um circuito RLC série com resistência R=6 Ω, indutância L=0,1 H e capacitância C=0,02 F, alimentado por uma tensão constante E(t)=6 V a partir de t=0, sem carga nem corrente iniciais. O objetivo é achar a carga q(t) no capacitor e a corrente i(t) no circuito ao longo do tempo. Vamos usar o modelo de equação diferencial de segunda ordem para circuitos RLC.

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial: em um circuito RLC série, a carga q(t) satisfaz
L,q''(t)+R,q'(t)+1Cq(t)=E(t)
Substituindo L, R, C e E(t) constantes, obtemos
0,1,q''+6,q'+10,02q=6

Passo 3

Resolvendo a parte homogênea: consideramos
0,1,q''+6,q'+50q=0
ou, dividindo por 0,1,
q''+60q'+500q=0
A equação característica é r²+60r+500=0, cujo discriminante é 60²−4·500=1600, gerando raízes reais
r1=-60+402=-10,
r2=-60-402=-50
Assim, a solução homogênea é
qh(t)=A e^-10t+B e^-50t

Passo 4

Encontrando a solução particular: buscamos uma q_p constante Q0. Substituindo em Lq’’+Rq’+(1/C)q=E, os termos com derivadas somem zero, sobrando
1CQ0=6
ou seja
Q0=Ccdot6=0,02times6=0,12,C
Logo,
qp(t)=0,12
A solução geral é
q(t)=0,12+A e^-10t+B e^-50t

Passo 5

Aplicando as condições iniciais para achar A e B: como não há carga nem corrente em t=0, temos
q(0)=0implies0,12+A+B=0implies A+B=-0,12,
i(0)=q'(0)=0implies q'(t)=-10A e^-10t-50B e^-50t,
q'(0)=-10A-50B=0implies A+5B=0
Resolvendo o sistema
A+B=-0,12A+5B=0
vem B=0,03 e A=-0,15.

Passo 6

Expressando as soluções finais: substituindo A e B em q(t) e derivando para obter i(t)=q’(t), temos
q(t)=0,12-0,15e^-10t+0,03e^-50t,
i(t)=q'(t)=1,5e^-10t-1,5e^-50t que são a carga no capacitor e a corrente no circuito ao longo do tempo.

Resposta

q(t)=0,12−0,15e{−10t}+0,03e{−50t} coulomb; i(t)=1,5e{−10t}−1,5e{−50t} ampère.

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