Resolva os seguintes problemas:
Um corpo, com peso de 32 libras, acha-se suspenso em uma mola, distendendo-a de 8 pés além de seu comprimento natural. Coloca-se o corpo em movimento deslocando-o de 1 pé no sentido “para cima”, e aplicando-lhe uma velocidade inicial de 2 pés/s “para baixo”. Determine a posição do corpo em qualquer instante, se a resistência do meio é desprezível. Determine também a frequência, o período e a amplitude do movimento.

Passo 1

O enunciado descreve um corpo de peso 32 libras suspenso em uma mola que se estende 8 pés no equilíbrio estático. Em seguida o corpo é distribuído 1 pé para cima e recebe velocidade inicial de 2 pé/s para baixo. Queremos achar a posição x(t), desprezando qualquer resistência, e também obter a frequência, o período e a amplitude do movimento. O assunto aqui é o oscilador harmônico simples regido por uma equação diferencial linear de 2º ordem.

Passo 2

Para montar a equação de movimento, primeiro calculamos a massa m e a constante elástica k. Como o peso é W=32 libras e g=32 ft/s², temos
m=Wg=3232=1(slug)
E como o alongamento estático é de ft, a mola satisfaz
k=Wde

Passo 3

A equação de movimento sem amortecimento é
m x'' + k x = 0
Substituindo m=1 e k=4 obtemos
x'' + 4x = 0
Aqui x(t) mede o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio, adotando-se o sinal positivo para baixo.

Passo 4

A solução geral dessa EDO é
x(t) = Acos(omega t) + Bsin(omega t)
onde a frequência angular é
omega = raizkm = raiz4 = 2 rad/s

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. No instante t=0, o corpo está 1 pé acima do equilíbrio, logo
x(0) = A = -1
e recebe velocidade de 2 pé/s para baixo, isto é
x'(t) = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t)
logo em t=0
x'(0)=2B=2 implies B=1

Passo 6

Com A=-1 e B=1, a posição fica
x(t) = -cos(2t) + sin(2t)
Para determinar a amplitude, usamos
R = raizA^2 + B^2 = raiz(-1)^2 + 1^2 = raiz2

Passo 7

Finalmente, a frequência em Hz e o período são
f = omega2pi = 22pi = 1pi Hz,
T = 2piomega = 2pi2 = pi s

Resposta

A posição do corpo em função do tempo é
x(t) = -cos(2t) + sin(2t)
A amplitude do movimento é raiz2 pé.
A frequência é f = tfrac1pi Hz.
O período é T = pi s.

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