Resolva os seguintes problemas:
Um corpo, com peso de 32 libras, acha-se suspenso em uma mola, distendendo-a de 8 pés além de seu comprimento natural. Coloca-se o corpo em movimento deslocando-o de 1 pé no sentido “para cima”, e aplicando-lhe uma velocidade inicial de 2 pés/s “para baixo”. Determine a posição do corpo em qualquer instante, se a resistência do meio é desprezível. Determine também a frequência, o período e a amplitude do movimento.
Um corpo, com peso de 32 libras, acha-se suspenso em uma mola, distendendo-a de 8 pés além de seu comprimento natural. Coloca-se o corpo em movimento deslocando-o de 1 pé no sentido “para cima”, e aplicando-lhe uma velocidade inicial de 2 pés/s “para baixo”. Determine a posição do corpo em qualquer instante, se a resistência do meio é desprezível. Determine também a frequência, o período e a amplitude do movimento.
Passo 1
O enunciado descreve um corpo de peso 32 libras suspenso em uma mola que se estende 8 pés no equilíbrio estático. Em seguida o corpo é distribuído 1 pé para cima e recebe velocidade inicial de 2 pé/s para baixo. Queremos achar a posição
, desprezando qualquer resistência, e também obter a frequência, o período e a amplitude do movimento. O assunto aqui é o oscilador harmônico simples regido por uma equação diferencial linear de 2º ordem.
Passo 2
Para montar a equação de movimento, primeiro calculamos a massa
e a constante elástica
. Como o peso é
libras e
ft/s², temos
E como o alongamento estático é
ft, a mola satisfaz
Passo 3
A equação de movimento sem amortecimento é
Substituindo
e
obtemos
Aqui
mede o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio, adotando-se o sinal positivo para baixo.
Passo 4
A solução geral dessa EDO é
onde a frequência angular é
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. No instante
, o corpo está 1 pé acima do equilíbrio, logo
e recebe velocidade de 2 pé/s para baixo, isto é
logo em
Passo 6
Com
e
, a posição fica
Para determinar a amplitude, usamos
Passo 7
Finalmente, a frequência em Hz e o período são
Resposta
A posição do corpo em função do tempo é
A amplitude do movimento é
pé.
A frequência é Hz.
O período é s.
A frequência é
O período é