Resolva os seguintes problemas:
Um circuito RLC em série, com R=6 ohms, C=0,02 farad, L=0,1 henry, não tem voltagem aplicada. Determine a corrente subsequente no circuito se a carga inicial no capacitor é 0,1 Coulomb e a corrente inicial é nula.

Passo 1

A questão trata de um circuito série RLC sem fonte externa, com R = 6 Ω, L = 0,1 H, C = 0,02 F, carga inicial no capacitor q(0) = 0,1 C e corrente inicial i(0) = 0. Vamos achar a corrente i(t) resolvendo a EDO homogênea de segunda ordem.

Passo 2

Pela Lei de Kirchhoff de Tensões (KVL) temos a equação em função de q(t):
Ld id t + R,i + qC = 0,
onde i = dq/dt. Diferenciando ambos os lados em relação a t, obtemos só i(t):
Ld^2 id t^2 + Rd id t + 1C,i = 0

Passo 3

Substituindo os valores R/L e 1/(L C):
RL = 60.1 = 60, 1L C = 10.1cdot0.02 = 500,
logo a EDO fica
i''(t) + 60,i'(t) + 500,i(t) = 0

Passo 4

Montamos a equação característica
r^2 + 60r + 500 = 0
Calculando o discriminante Δ = 60² – 4·500 = 1600, obtemos raízes
r1,2 = -60 pm 402 = -10,,-50

Passo 5

A solução geral é
i(t) = A e^-10t + B e^-50t
Usando i(0)=0 dá
A + B = 0 implies B = -A

Passo 6

Para achar A usamos i’(0). Da KVL original em t=0:
L,i'(0) + q(0)C = 0 implies 0.1,i'(0) + 0.10.02 = 0 implies i'(0) = -50

Passo 7

Derivando i(t):
i'(t) = -10A e^-10t -50B e^-50t,
em t=0: i’(0) = -10A -50B = -10A -50(-A) = 40A. Igualando a -50:
40A = -50 implies A = -1,25, B = +1,25

Passo 8

Portanto a corrente no circuito é
i(t) = -1,25e^-10t + 1,25e^-50t,
que pode ser escrita como
i(t) = 1,25l(e^-50t - e^-10tr)(A)

Resposta

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