Resolva os seguintes problemas:
Um corpo, com massa de 1 slug, acha-se suspenso em uma mola cuja constante é 8 lb / pé. Põe-se o corpo em movimento, a partir da posição de equilíbrio, sem velocidade inicial, aplicando uma força externa F(t)=16 cos (4 t). Determine a posição do corpo em função do tempo, se a resistência do ar é numericamente igual a 4 vezes módulo da velocidade.

Passo 1

O corpo de massa 1 slug está preso a uma mola de constante 8 lb/ft e sofre resistência viscosa com coeficiente 4. Além disso, recebe força externa F(t)=16 cos(4t). Como o corpo parte da posição de equilíbrio com velocidade zero, temos x(0)=0 e x’(0)=0. Vamos modelar isso por uma EDO linear de 2º ordem de oscilador amortecido forçado.

Passo 2

Escrevemos a equação do movimento segundo Newton: massa vezes aceleração mais força de amortecimento mais força elástica igual à força externa. Ou seja,
1,x''+4,x'+8,x=16cos(4t)

Passo 3

Para resolver, primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada:
x''+4x'+8x=0 A equação característica é r²+4r+8=0, com raízes r=-2±2i. Logo a solução homogênea é
xh(t)=e^-2tl(Acos2t+Bsin2tr)

Passo 4

Em seguida buscamos uma solução particular da forma x_p(t)=C\cos4t+D\sin4t. Substituindo em
x''+4x'+8x=16cos(4t)
e igualando coeficientes de cos4t e sin4t, obtemos o sistema
-8C+16D=16 -16C-8D=0 cuja solução é C=-0.4 e D=0.8. Assim
xp(t)=-0.4cos4t+0.8sin4t

Passo 5

A solução geral é a soma:
x(t)=e^-2tl(Acos2t+Bsin2tr)-0.4cos4t+0.8sin4t

Passo 6

Finalmente, aplicamos as condições iniciais. Em t=0 temos x(0)=0 ⇒ A-0.4=0 ⇒ A=0.4. Para x’(0)=0, computamos x’(t), avaliamos em t=0 e igualamos zero, resultando em B=-1.2.

Passo 7

Substituindo A e B, a posição em função do tempo fica
x(t)=e^-2tl(0.4cos2t-1.2sin2tr)-0.4cos4t+0.8sin4t

Resposta

x(t)=e^{-2t}\bigl(0.4\cos2t-1.2\sin2t\bigr)-0.4\cos4t+0.8\sin4t

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