Resolva os seguintes problemas:
Um corpo, com massa de 1 slug, acha-se suspenso em uma mola cuja constante é
pé. Põe-se o corpo em movimento, a partir da posição de equilíbrio, sem velocidade inicial, aplicando uma força externa
. Determine a posição do corpo em função do tempo, se a resistência do ar é numericamente igual a 4 vezes módulo da velocidade.
Um corpo, com massa de 1 slug, acha-se suspenso em uma mola cuja constante é
Passo 1
O corpo de massa 1 slug está preso a uma mola de constante 8 lb/ft e sofre resistência viscosa com coeficiente 4. Além disso, recebe força externa F(t)=16 cos(4t). Como o corpo parte da posição de equilíbrio com velocidade zero, temos x(0)=0 e x’(0)=0. Vamos modelar isso por uma EDO linear de 2º ordem de oscilador amortecido forçado.
Passo 2
Escrevemos a equação do movimento segundo Newton: massa vezes aceleração mais força de amortecimento mais força elástica igual à força externa. Ou seja,
Passo 3
Para resolver, primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada:
Passo 4
Em seguida buscamos uma solução particular da forma x_p(t)=C\cos4t+D\sin4t. Substituindo em
e igualando coeficientes de cos4t e sin4t, obtemos o sistema
Passo 5
A solução geral é a soma:
Passo 6
Finalmente, aplicamos as condições iniciais. Em t=0 temos x(0)=0 ⇒ A-0.4=0 ⇒ A=0.4. Para x’(0)=0, computamos x’(t), avaliamos em t=0 e igualamos zero, resultando em B=-1.2.
Passo 7
Substituindo A e B, a posição em função do tempo fica
Resposta
x(t)=e^{-2t}\bigl(0.4\cos2t-1.2\sin2t\bigr)-0.4\cos4t+0.8\sin4t