Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Dada a função
q(x, y)=ln (xy), calcule qx e qy(com x, y>0).

Passo 1

O enunciado dá a função q(x,y)=\ln(xy) e informa que x>0 e y>0. O que ele pede é:
  • Calcular a derivada parcial de q em relação a x, ou seja q_x(x,y).
  • Calcular a derivada parcial de q em relação a y, ou seja q_y(x,y).

Passo 2

Lembrete didático do que é derivada parcial: a derivada parcial de q em relação a x é a derivada de q quando tratamos y como constante. Em notação de limite:
\frac{\partial q}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{q(x+h,y)-q(x,y)}{h}.
Analogamente, para y tratamos x como constante:
\frac{\partial q}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{q(x,y+h)-q(x,y)}{h}.
Na prática, usamos regras usuais de derivação considerando a outra variável fixa.

Passo 3

Usamos uma identidade muito útil do logaritmo (válida porque x>0 e y>0):
\ln(xy)=\ln x+\ln y.
Isso simplifica q para
q(x,y)=\ln x+\ln y.
Explicação rápida: \ln transforma produto em soma, o que torna mais fácil derivar em relação a uma variável mantendo a outra fixa.

Passo 4

Agora derivamos em relação a x, lembrando que y é constante. A derivada de \ln x é 1/x e a derivada de \ln y em relação a x é 0 (porque \ln y é constante quando y é fixo). Assim:
q_x(x,y)=\frac{1}{x}+0=\frac{1}{x}.
Aqui usei a regra básica: \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.

Passo 5

Agora derivamos em relação a y, tratando x como constante. A derivada de \ln y é 1/y e a derivada de \ln x em relação a y é 0. Logo:
q_y(x,y)=0+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}.

Passo 6

Verificação alternativa (útil na prova): usar a regra da cadeia direto em q(x,y)=\ln(u) com u(x,y)=xy. A regra da cadeia para derivada parcial diz
\frac{\partial}{\partial x}\ln(u(x,y))=\frac{1}{u(x,y)}\frac{\partial u}{\partial x}.
Como \frac{\partial}{\partial x}(xy)=y, temos
q_x(x,y)=\frac{1}{xy}\cdot y=\frac{1}{x}.
De modo análogo,
q_y(x,y)=\frac{1}{xy}\cdot x=\frac{1}{y}.
Essa via confirma os resultados anteriores.

Passo 7

Observação final e dica para a prova: as derivadas só fazem sentido aqui porque x>0 e y>0 (domínio do \ln). Dois caminhos rápidos na prova: usar \ln(xy)=\ln x+\ln y ou aplicar a regra da cadeia com u=xy. Ambos levam facilmente aos mesmos resultados. Força aí — já tá na mão!

Resposta

q_x(x,y)=\dfrac{1}{x}
q_y(x,y)=\dfrac{1}{y}

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