Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Dada a função
q(x, y)=ln (xy), calcule qx e qy(com x, y>0).
Dada a função
q(x, y)=ln (xy), calcule qx e qy(com x, y>0).
Passo 1
O enunciado dá a função
e informa que
e
. O que ele pede é:
- Calcular a derivada parcial de
em relação a , ou seja . - Calcular a derivada parcial de
em relação a , ou seja .
Passo 2
Lembrete didático do que é derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a
é a derivada de
quando tratamos
como constante. Em notação de limite:
Analogamente, para
tratamos
como constante:
Na prática, usamos regras usuais de derivação considerando a outra variável fixa.
Passo 3
Usamos uma identidade muito útil do logaritmo (válida porque
e
):
Isso simplifica
para
Explicação rápida:
transforma produto em soma, o que torna mais fácil derivar em relação a uma variável mantendo a outra fixa.
Passo 4
Agora derivamos em relação a
, lembrando que
é constante. A derivada de
é
e a derivada de
em relação a
é
(porque
é constante quando
é fixo). Assim:
Aqui usei a regra básica:
.
Passo 5
Agora derivamos em relação a
, tratando
como constante. A derivada de
é
e a derivada de
em relação a
é
. Logo:
Passo 6
Verificação alternativa (útil na prova): usar a regra da cadeia direto em
com
. A regra da cadeia para derivada parcial diz
Como
, temos
De modo análogo,
Essa via confirma os resultados anteriores.
Passo 7
Observação final e dica para a prova: as derivadas só fazem sentido aqui porque
e
(domínio do
). Dois caminhos rápidos na prova: usar
ou aplicar a regra da cadeia com
. Ambos levam facilmente aos mesmos resultados. Força aí — já tá na mão!