Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Para h(x, y)=x^{2} y, calcule hx e hy.

Passo 1

O enunciado dá a função h(x,y)=x^{2}y e pede para calcular as derivadas parciais h_x e h_y.
Informações relevantes: a função está definida para pares (x,y) (domínio típico \mathbb{R}^2). As perguntas são: encontre \,h_x(x,y)\, e \,h_y(x,y)\,.

Passo 2

Definição (intuição e fórmula): a derivada parcial de h em relação a x em um ponto (x,y) mede como h varia quando mudamos x mantendo y fixo. A definição por limite é
h_x(x,y)=\lim_{t\to 0}\frac{h(x+t,y)-h(x,y)}{t}.
De forma análoga, a derivada parcial em relação a y é
h_y(x,y)=\lim_{s\to 0}\frac{h(x,y+s)-h(x,y)}{s}.
Vou usar essas definições para calcular explicitamente, e depois mostrar um jeito mais rápido usando regras de derivação.

Passo 3

Cálculo de h_x pelo limite: primeiro calcule h(x+t,y). Como h(x,y)=x^{2}y,
h(x+t,y)=(x+t)^{2}y.
Subtraindo h(x,y) e dividindo por t:
\frac{h(x+t,y)-h(x,y)}{t}=\frac{(x+t)^{2}y - x^{2}y}{t}=y\cdot\frac{(x+t)^{2}-x^{2}}{t}.
Expandindo (x+t)^{2}-x^{2}:
(x+t)^{2}-x^{2}=x^{2}+2xt+t^{2}-x^{2}=2xt+t^{2}.
Logo
\frac{h(x+t,y)-h(x,y)}{t}=y\cdot\frac{2xt+t^{2}}{t}=y(2x+t).
Tomando o limite t\to 0,
h_x(x,y)=\lim_{t\to 0}y(2x+t)=2xy.

Passo 4

Jeito mais rápido (regra do produto com variável fixa): como, ao derivar em relação a x, y é tratado como constante, podemos ver h(x,y)=y\cdot x^{2}. Aplicando a regra da potência para x^{2} (derivada de x^{n} é n x^{n-1}),
h_x(x,y)=y\cdot \frac{d}{dx}(x^{2})=y\cdot 2x=2xy,
o mesmo resultado obtido pelo limite.

Passo 5

Cálculo de h_y pelo limite: calcule h(x,y+s). Como h(x,y)=x^{2}y,
h(x,y+s)=x^{2}(y+s).
Subtraindo h(x,y) e dividindo por s:
\frac{h(x,y+s)-h(x,y)}{s}=\frac{x^{2}(y+s)-x^{2}y}{s}=x^{2}\cdot\frac{s}{s}=x^{2}.
Tomando o limite s\to 0,
h_y(x,y)=\lim_{s\to 0} x^{2}=x^{2}.

Passo 6

Jeito mais rápido para h_y: ao derivar em relação a y, x é constante, então h(x,y)=x^{2}\cdot y tem derivada em y igual a x^{2}\cdot 1. Logo
h_y(x,y)=x^{2}.

Passo 7

Observação útil para prova: você pode memorizar a ideia prática — para h(x,y)=x^{2}y, trate a variável que não está sendo derivada como constante. Assim escrever h_x=2x\cdot y e h_y=x^{2}. Em um ponto (a,b) isso vira h_x(a,b)=2ab e h_y(a,b)=a^{2}. Força aí, tá indo bem!

Resposta

h_x(x,y)=2xy
h_y(x,y)=x^{2}

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