Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Para h(x, y)=x^{2} y, calcule hx e hy.
Para h(x, y)=x^{2} y, calcule hx e hy.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes: a função está definida para pares (domínio típico
). As perguntas são: encontre
e
.
Informações relevantes: a função está definida para pares
Passo 2
Definição (intuição e fórmula): a derivada parcial de
em relação a
em um ponto
mede como
varia quando mudamos
mantendo
fixo. A definição por limite é
De forma análoga, a derivada parcial em relação a
é
Vou usar essas definições para calcular explicitamente, e depois mostrar um jeito mais rápido usando regras de derivação.
Passo 3
Cálculo de
pelo limite: primeiro calcule
. Como
,
Subtraindo
e dividindo por
:
Expandindo
:
Logo
Tomando o limite
,
Passo 4
Jeito mais rápido (regra do produto com variável fixa): como, ao derivar em relação a
,
é tratado como constante, podemos ver
. Aplicando a regra da potência para
(derivada de
é
),
o mesmo resultado obtido pelo limite.
Passo 5
Cálculo de
pelo limite: calcule
. Como
,
Subtraindo
e dividindo por
:
Tomando o limite
,
Passo 6
Jeito mais rápido para
: ao derivar em relação a
,
é constante, então
tem derivada em
igual a
. Logo
Passo 7
Observação útil para prova: você pode memorizar a ideia prática — para
, trate a variável que não está sendo derivada como constante. Assim escrever
e
. Em um ponto
isso vira
e
. Força aí, tá indo bem!