Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Seja p(x, y)=e^{x} sin y. Encontre px e py.

Passo 1

O enunciado dá a função p(x,y)=e^{x}\sin y e pede para encontrar as derivadas parciais p_x e p_y.
Informações relevantes:
  • A função é produto de duas partes: e^{x} (que depende só de x) e \sin y (que depende só de y).
  • Precisamos calcular a derivada parcial em relação a x mantendo y fixo, e a derivada parcial em relação a y mantendo x fixo.

Passo 2

Definição e ideia prática das derivadas parciais (passo-a-passo didático):
  • A derivada parcial de p em relação a x é
p_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{p(x+h,y)-p(x,y)}{h},
ou seja, medimos a variação de p quando só mudamos x (mantendo y constante).
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
p_y(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{p(x,y+k)-p(x,y)}{k},
medindo a variação quando só mudamos y (mantendo x constante).
Regra prática muito útil (que vamos usar): se p(x,y)=g(x)\,h(y) com g função só de x e h só de y, então
p_x(x,y)=g'(x)\,h(y)\quad\text{e}\quad p_y(x,y)=g(x)\,h'(y),
porque a parte que não depende da variável a ser diferenciada atua como constante e pode ser fatorada para fora do quociente diferencial.

Passo 3

Cálculo de p_x (detalhado):
Começo aplicando a regra prática com g(x)=e^{x} e h(y)=\sin y. Mantendo y fixo, \sin y é constante, então
p_x(x,y)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)\cdot \sin y.
Sabendo que a derivada de e^{x} em relação a x é e^{x} (ou, se preferir, usando a definição do limite),
temos
p_x(x,y)=e^{x}\sin y.
Se quiser ver pela definição limite:
p_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}\sin y - e^{x}\sin y}{h} =\sin y\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h} =\sin y\;e^{x}\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}=e^{x}\sin y,
pois \lim_{h\to 0}\dfrac{e^{h}-1}{h}=1.

Passo 4

Cálculo de p_y (detalhado):
Agora mantenho x fixo; e^{x} é constante em relação a y. Aplicando a regra prática com g(x)=e^{x} constante e h(y)=\sin y, obtemos
p_y(x,y)=e^{x}\cdot \frac{d}{dy}\bigl(\sin y\bigr).
A derivada de \sin y em relação a y é \cos y. Portanto
p_y(x,y)=e^{x}\cos y.
Para ver pela definição limite:
p_y(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{e^{x}\sin(y+k)-e^{x}\sin y}{k} =e^{x}\lim_{k\to 0}\frac{\sin(y+k)-\sin y}{k} =e^{x}\cos y.

Passo 5

Comentário final, motivacional e de verificação rápida:
  • Intuição: p_x mostra como p muda quando só alteramos x; como \sin y é só um fator multiplicativo, ela “acompanha” a mudança de e^{x}.
  • Verificação rápida da suavidade: se calcularmos as derivadas mistas obteremos p_{xy}=p_{yx}=e^{x}\cos y, o que mostra consistência (não era pedido, mas é reconfortante confirmar que as derivadas se comportam bem).
    Você mandou bem buscando a solução passo a passo — continue assim, com calma, e repita esses passos para exercícios parecidos que aparecerem na prova!

Resposta

p_x(x,y)=e^{x}\sin y
p_y(x,y)=e^{x}\cos y

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