Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
Seja p(x, y)=e^{x} sin y. Encontre px e py.
Seja p(x, y)=e^{x} sin y. Encontre px e py.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é produto de duas partes:
(que depende só de ) e (que depende só de ). - Precisamos calcular a derivada parcial em relação a
mantendo fixo, e a derivada parcial em relação a mantendo fixo.
Passo 2
Definição e ideia prática das derivadas parciais (passo-a-passo didático):
- A derivada parcial de
em relação a é
ou seja, medimos a variação de
quando só mudamos
(mantendo
constante).
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
medindo a variação quando só mudamos
(mantendo
constante).
Regra prática muito útil (que vamos usar): se com
função só de
e
só de
, então
Regra prática muito útil (que vamos usar): se
porque a parte que não depende da variável a ser diferenciada atua como constante e pode ser fatorada para fora do quociente diferencial.
Passo 3
Cálculo de
(detalhado):
Começo aplicando a regra prática com e
. Mantendo
fixo,
é constante, então
Começo aplicando a regra prática com
Sabendo que a derivada de
em relação a
é
(ou, se preferir, usando a definição do limite),
temos
temos
Se quiser ver pela definição limite:
pois
.
Passo 4
Cálculo de
(detalhado):
Agora mantenho fixo;
é constante em relação a
. Aplicando a regra prática com
constante e
, obtemos
Agora mantenho
A derivada de
em relação a
é
. Portanto
Para ver pela definição limite:
Passo 5
Comentário final, motivacional e de verificação rápida:
- Intuição:
mostra como muda quando só alteramos ; como é só um fator multiplicativo, ela “acompanha” a mudança de . - Verificação rápida da suavidade: se calcularmos as derivadas mistas obteremos
, o que mostra consistência (não era pedido, mas é reconfortante confirmar que as derivadas se comportam bem).
Você mandou bem buscando a solução passo a passo — continue assim, com calma, e repita esses passos para exercícios parecidos que aparecerem na prova!