Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
(Geometria) Seja f(x, y)=x{2}+y{2}, que representa a distância ao quadrado de um ponto ( x, y ) à origem. Calcule fx e fy e interprete como a taxa de variação em cada direção.

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}\; (definida para pontos (x,y) no plano) e pede duas coisas: calcular \;f_x\; e \;f_y\; — ou seja, as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y — e interpretar o que esses números representam como taxa de variação em cada direção.
Informações relevantes fornecidas: \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}\;.
Perguntas explícitas: calcular \;f_x\; e \;f_y\; e interpretar tais resultados.

Passo 2

O que é derivada parcial (explicação didática)?
  • A derivada parcial de f em relação a x num ponto (x,y), notada \;f_x(x,y)\;, mede a taxa de variação de f quando só mexemos x, mantendo y fixo. Formalmente:
f_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
  • Analogamente, \;f_y(x,y)\; mede a taxa de variação quando só mexemos y, mantendo x fixo:
f_y(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Explicando em palavras: pense que você está em um ponto do plano e anda um passinho na direção positiva do eixo x (mantendo a mesma coordenada y). A derivada parcial \;f_x\; diz quanto f aumenta (ou diminui) por unidade desse passo. O mesmo raciocínio vale para \;f_y\; com passos na direção do eixo y.

Passo 3

Calcular \;f_x(x,y)\; aplicando a definição por limite (mostro passo a passo para ficar claro):
Começo com
f_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Substituo f(x,y)=x^{2}+y^{2}:
f(x+h,y)=(x+h)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}+y^{2}.
Então o numerador fica
f(x+h,y)-f(x,y)=(x^{2}+2xh+h^{2}+y^{2})-(x^{2}+y^{2})=2xh+h^{2}.
Dividindo por h:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=2x+h.
Agora faço o limite quando h\to0:
f_x(x,y)=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Comentário prático: ao diferenciar em relação a x tratamos y como constante, então a parcela y^{2} some porque sua derivada em relação a x é zero.

Passo 4

Calcular \;f_y(x,y)\; por simetria ou usando a definição:
Usando a definição,
f_y(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Substituindo f:
f(x,y+h)=x^{2}+(y+h)^{2}=x^{2}+y^{2}+2yh+h^{2},
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\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=2y+h.
Fazendo h\to0 obtém-se
f_y(x,y)=2y.
Interpretando a operação: ao diferenciar em relação a y tratamos x como constante, então a parcela x^{2} some.

Passo 5

Interpretação geométrica e uso prático (como usar isso numa prova):
  • A função \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}\; é o quadrado da distância do ponto (x,y) à origem. Assim \;f_x(x,y)=2x\; e \;f_y(x,y)=2y\; dizem como esse quadrado da distância muda se eu der um pequeno passo em x ou em y.
  • Significado numérico: se estou em (x,y) e faço um pequeno incremento \;dx\; mantendo y fixo, a variação aproximada de f é \;df\approx f_x\,dx=2x\,dx. Se faço um pequeno \;dy\; mantendo x fixo, então \;df\approx f_y\,dy=2y\,dy.
  • Exemplo concreto e intuitivo: no ponto (1,2) temos \;f_x(1,2)=2 e \;f_y(1,2)=4. Isso significa que, mantendo y=2 e deslocando x em +0,01, f aumenta aproximadamente 2\cdot0,01=0,02. Mantendo x=1 e deslocando y em +0,01, f aumenta aproximadamente 4\cdot0,01=0,04. Ou seja, naquela posição a função cresce mais rápido na direção y do que na direção x.
  • Ligação com o gradiente: o vetor gradiente é \nabla f=(f_x,f_y)=(2x,2y). Ele aponta para a direção de maior aumento de f e seu comprimento dá a taxa máxima de aumento por unidade de deslocamento.

Resposta

f_x(x,y)=2x
f_y(x,y)=2y

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