Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
(Geometria) Seja f(x, y)=x{2}+y{2}, que representa a distância ao quadrado de um ponto ( x, y ) à origem. Calcule fx e fy e interprete como a taxa de variação em cada direção.
(Geometria) Seja f(x, y)=x{2}+y{2}, que representa a distância ao quadrado de um ponto ( x, y ) à origem. Calcule fx e fy e interprete como a taxa de variação em cada direção.
Passo 1
O enunciado dá a função
(definida para pontos
no plano) e pede duas coisas: calcular
e
— ou seja, as derivadas parciais de
em relação a
e em relação a
— e interpretar o que esses números representam como taxa de variação em cada direção.
Informações relevantes fornecidas: .
Perguntas explícitas: calcular e
e interpretar tais resultados.
Informações relevantes fornecidas:
Perguntas explícitas: calcular
Passo 2
O que é derivada parcial (explicação didática)?
- A derivada parcial de
em relação a num ponto , notada , mede a taxa de variação de quando só mexemos , mantendo fixo. Formalmente:
- Analogamente,
mede a taxa de variação quando só mexemos , mantendo fixo:
Explicando em palavras: pense que você está em um ponto do plano e anda um passinho na direção positiva do eixo
(mantendo a mesma coordenada
). A derivada parcial
diz quanto
aumenta (ou diminui) por unidade desse passo. O mesmo raciocínio vale para
com passos na direção do eixo
.
Passo 3
Calcular
aplicando a definição por limite (mostro passo a passo para ficar claro):
Começo com
Começo com
Substituo
:
Então o numerador fica
Dividindo por
:
Agora faço o limite quando
:
Comentário prático: ao diferenciar em relação a
tratamos
como constante, então a parcela
some porque sua derivada em relação a
é zero.
Passo 4
Calcular
por simetria ou usando a definição:
Usando a definição,
Usando a definição,
Substituindo
:
logo
Fazendo
obtém-se
Interpretando a operação: ao diferenciar em relação a
tratamos
como constante, então a parcela
some.
Passo 5
Interpretação geométrica e uso prático (como usar isso numa prova):
- A função
é o quadrado da distância do ponto à origem. Assim e dizem como esse quadrado da distância muda se eu der um pequeno passo em ou em . - Significado numérico: se estou em
e faço um pequeno incremento mantendo fixo, a variação aproximada de é . Se faço um pequeno mantendo fixo, então . - Exemplo concreto e intuitivo: no ponto
temos e . Isso significa que, mantendo e deslocando em , aumenta aproximadamente . Mantendo e deslocando em , aumenta aproximadamente . Ou seja, naquela posição a função cresce mais rápido na direção do que na direção . - Ligação com o gradiente: o vetor gradiente é
. Ele aponta para a direção de maior aumento de e seu comprimento dá a taxa máxima de aumento por unidade de deslocamento.