Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
(Economia) Considere
g(x, y)=3 x+2 y, que modela o custo de produção em função de x unidades de matéria-prima e y horas de trabalho. Determine gx e gy e explique o significado.

Passo 1

O enunciado dá a função g(x,y)=3x+2y, que representa o custo de produção em função de x (unidades de matéria‑prima) e y (horas de trabalho). Ele pede para determinar g_x e g_y e explicar o significado desses resultados.

Passo 2

Vamos lembrar exatamente o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de g em relação a x no ponto (x,y) mede a taxa de variação de g quando apenas x varia e y é mantido fixo. Formalmente:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h,y)-g(x,y)}{h}.
Aqui h é um pequeno acréscimo em x; y permanece o mesmo durante o processo. De modo análogo, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x,y+h)-g(x,y)}{h},
onde agora é y que varia e x fica fixo.

Passo 3

Calculando \displaystyle g_x(x,y)=\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) usando a definição por limite. Substituímos g:
g(x+h,y)=3(x+h)+2y=3x+3h+2y.
Então
\frac{g(x+h,y)-g(x,y)}{h}=\frac{(3x+3h+2y)-(3x+2y)}{h}=\frac{3h}{h}=3.
Fazendo h\to0 chegamos a
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=3.
Portanto g_x(x,y)=3 para todo (x,y).

Passo 4

Agora calculemos \displaystyle g_y(x,y)=\frac{\partial g}{\partial y}(x,y). Pelo mesmo procedimento:
g(x,y+h)=3x+2(y+h)=3x+2y+2h,
então
\frac{g(x,y+h)-g(x,y)}{h}=\frac{(3x+2y+2h)-(3x+2y)}{h}=\frac{2h}{h}=2.
Tomando o limite h\to0 obtemos
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=2.
Portanto g_y(x,y)=2 para todo (x,y).

Passo 5

Interpretação econômica (passo‑a‑passo, bem prático):
  • g_x(x,y)=3 significa que, mantendo y (horas de trabalho) fixo, se eu aumentar x (unidades de matéria‑prima) em uma unidade, o custo total aumenta em 3 (unidades monetárias). Em linguagem de economia: a derivada parcial em x é o custo marginal em relação à matéria‑prima — o custo adicional por mais uma unidade de matéria‑prima.
  • g_y(x,y)=2 significa que, mantendo x fixo, se eu aumentar y (horas de trabalho) em uma hora, o custo total aumenta em 2 (unidades monetárias). Ou seja, é o custo marginal em relação ao tempo de trabalho.

Passo 6

Regra prática útil para a prova: para funções lineares do tipo ax+by os coeficientes aparecem diretamente como derivadas parciais: (ax+by)_x=a e (ax+by)_y=b. Além disso, a diferencial total dá uma aproximação (aqui exata porque a função é linear):
dg \approx g_x\,dx + g_y\,dy = 3\,dx + 2\,dy.
Exemplo numérico rápido: se num ponto qualquer você aumenta x em 2 unidades e y em 3 horas, a variação do custo é
\Delta g = 3\cdot 2 + 2\cdot 3 = 6 + 6 = 12.
Como g é linear, esse cálculo é exato, não apenas aproximado.

Resposta

g_x(x,y)=3
g_y(x,y)=2
Interpretação: g_x é o aumento do custo por uma unidade a mais de matéria‑prima (com y fixo) — vale 3. g_y é o aumento do custo por uma hora a mais de trabalho (com x fixo) — vale 2.

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