Resolva os seguintes problemas de derivadas parciais:
(Economia) Considere
g(x, y)=3 x+2 y, que modela o custo de produção em função de x unidades de matéria-prima e y horas de trabalho. Determine gx e gy e explique o significado.
(Economia) Considere
g(x, y)=3 x+2 y, que modela o custo de produção em função de x unidades de matéria-prima e y horas de trabalho. Determine gx e gy e explique o significado.
Passo 1
O enunciado dá a função
, que representa o custo de produção em função de
(unidades de matéria‑prima) e
(horas de trabalho). Ele pede para determinar
e
e explicar o significado desses resultados.
Passo 2
Vamos lembrar exatamente o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
mede a taxa de variação de
quando apenas
varia e
é mantido fixo. Formalmente:
Aqui
é um pequeno acréscimo em
;
permanece o mesmo durante o processo. De modo análogo, a derivada parcial em relação a
é
onde agora é
que varia e
fica fixo.
Passo 3
Calculando
usando a definição por limite. Substituímos
:
Então
Fazendo
chegamos a
Portanto
para todo
.
Passo 4
Agora calculemos
. Pelo mesmo procedimento:
então
Tomando o limite
obtemos
Portanto
para todo
.
Passo 5
Interpretação econômica (passo‑a‑passo, bem prático):
-
significa que, mantendo (horas de trabalho) fixo, se eu aumentar (unidades de matéria‑prima) em uma unidade, o custo total aumenta em (unidades monetárias). Em linguagem de economia: a derivada parcial em é o custo marginal em relação à matéria‑prima — o custo adicional por mais uma unidade de matéria‑prima. -
significa que, mantendo fixo, se eu aumentar (horas de trabalho) em uma hora, o custo total aumenta em (unidades monetárias). Ou seja, é o custo marginal em relação ao tempo de trabalho.
Passo 6
Regra prática útil para a prova: para funções lineares do tipo
os coeficientes aparecem diretamente como derivadas parciais:
e
. Além disso, a diferencial total dá uma aproximação (aqui exata porque a função é linear):
Exemplo numérico rápido: se num ponto qualquer você aumenta
em
unidades e
em
horas, a variação do custo é
Como
é linear, esse cálculo é exato, não apenas aproximado.
Resposta
Interpretação: