Resolva os seguintes problemas envolvendo o teorema do valor médio:
Dada f(x)=x^3-5 x^2-3 x comprove que as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para a=1 e b=3. Então, encontre todos os valores de c no intervalo aberto (1,3), tais que f'(c)=f(3)-f(1)3-1

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^3-5x^2-3x e pede para verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio (continuidade em [1,3] e diferenciabilidade em (1,3)) e, depois, encontrar todos os valores de cin(1,3) tais que
f'(c)=f(3)-f(1)3-1

Passo 2

Por ser um polinômio, f é contínua em todo R e diferenciável em todo R. Logo, está contínua em [1,3] e diferenciável em (1,3), satisfazendo as hipóteses do Teorema do Valor Médio.

Passo 3

Calculamos o coeficiente angular médio:
Primeiro,
f(3)=3^3-5cdot3^2-3cdot3=27-45-9=-27
Em seguida,
f(1)=1^3-5cdot1^2-3cdot1=1-5-3=-7
Logo,
f(3)-f(1)3-1=-27-(-7)2=-202=-10

Passo 4

Derivando f, temos
f'(x)=3x^2-10x-3
Igualando ao coeficiente médio, obtemos a equação
3c^2-10c-3=-10
que passa a ser
3c^2-10c+7=0

Passo 5

Calculamos o discriminante:
De<a = (-10)^2-4cdot3cdot7=100-84=16
As raízes são
c=10pm46,
isto é, c=1 e c=tfrac73. Como o Teorema do Valor Médio garante cin(1,3), descartamos c=1 e ficamos com
c=73

Resposta

c=dfrac73.

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