Resolva os seguintes problemas envolvendo o teorema do valor médio:
Dada
comprove que as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para
e
. Então, encontre todos os valores de c no intervalo aberto (1,3), tais que
Dada
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio (continuidade em
e diferenciabilidade em
) e, depois, encontrar todos os valores de
tais que
Passo 2
Por ser um polinômio,
é contínua em todo
e diferenciável em todo
. Logo, está contínua em
e diferenciável em
, satisfazendo as hipóteses do Teorema do Valor Médio.
Passo 3
Calculamos o coeficiente angular médio:
Primeiro,
Primeiro,
Em seguida,
Logo,
Passo 4
Derivando
, temos
Igualando ao coeficiente médio, obtemos a equação
que passa a ser
Passo 5
Calculamos o discriminante:
As raízes são
isto é,
e
. Como o Teorema do Valor Médio garante
, descartamos
e ficamos com