Determine se a série (1) converge e, em caso afirmativo, exiba a soma da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{4^{n}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n-1}}{4^{n}}
converge e, em caso afirmativo, exibir a soma.
Informações dadas: o termo geral é \displaystyle \frac{(-3)^{n-1}}{4^{n}} para n=1,2,3,\dots. Não há outras informações ou figuras.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral para reconhecê-lo numa forma padrão. Observe que
\frac{(-3)^{n-1}}{4^{n}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{(-3)^{n-1}}{4^{\,n-1}}.
Aqui eu simplesmente separei um fator 4 do denominador (porque 4^{n}=4\cdot4^{\,n-1}). Portanto o termo geral fica
\frac{(-3)^{n-1}}{4^{n}}=\frac{1}{4}\left(\frac{-3}{4}\right)^{n-1}.
Essa é a forma clássica de uma série geométrica: um fator inicial multiplicando \left(\frac{-3}{4}\right)^{n-1}.

Passo 3

Lembra da definição/forma padrão da série geométrica? Uma série geométrica de primeira termo a e razão r é
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}.
A propriedade importante (teorema) é: se \lvert r\rvert<1 então a série converge e sua soma é
\frac{a}{1-r}.
Se \lvert r\rvert\ge 1 a série diverge. Vou justificar rapidamente a fórmula da soma: para a soma parcial com N termos,
S_N = a + ar + ar^{2}+\dots+ar^{N-1}=a\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Se \lvert r\rvert<1 então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, logo S_N\to \dfrac{a}{1-r}.

Passo 4

Comparando com a nossa série reescrita no Passo 2, temos:
a=\frac{1}{4},\qquad r=\frac{-3}{4}.
Agora verificamos a condição de convergência:
\lvert r\rvert=\left\lvert \frac{-3}{4}\right\rvert=\frac{3}{4}<1.
Como \lvert r\rvert<1, a série converge (estamos dentro do caso em que a soma é dada por a/(1-r)).

Passo 5

Calcular a soma usando a fórmula. Substituindo a=\dfrac{1}{4} e r=-\dfrac{3}{4} em \dfrac{a}{1-r}, obtemos
\text{soma}=\frac{\dfrac{1}{4}}{1-\left(-\dfrac{3}{4}\right)} =\frac{\dfrac{1}{4}}{1+\dfrac{3}{4}} =\frac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{7}{4}}.
Agora simplifico a fração:
\frac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{7}{4}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{7}=\frac{1}{7}.

Passo 6

Pequena verificação numérica (opcional, só pra dar confiança): os primeiros termos são
n=1:\\ \frac{(-3)^{0}}{4^{1}}=\frac{1}{4}=0,25,
n=2:\\ \frac{(-3)^{1}}{4^{2}}=-\frac{3}{16}=-0,1875,
n=3:\\ \frac{(-3)^{2}}{4^{3}}=\frac{9}{64}\approx 0,140625,
somando esses três temos aproximadamente 0,203125, que já está próximo de 1/7\approx 0,142857; somando mais termos a soma parcial vai se aproximar de 1/7. (Isso confirma qualitativamente a convergência e a direção da soma.)

Resposta

A série converge.
Soma =\displaystyle \frac{1}{7}

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