Resolva os seguintes problemas:
ld xd t=x+y d yd t=-2 x-y

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo de EDOs com coeficientes constantes
dxdt=x+y, dydt=-2x-y
O conteúdo da matéria é resolução de sistemas lineares reduzindo a uma EDO de segunda ordem. Vamos usar álgebra elementar para expressar y em função de x e sua derivada, obter uma equação só em x, resolver e voltar para y.

Passo 2

Da primeira equação, isolamos y:
y=dxdt-x
Agora computamos dydt por derivação dessa expressão e igualamos à segunda equação do sistema.

Passo 3

Derivando y obtemos
dydt =d^2xdt^2-dxdt
Pela segunda equação do sistema,
dydt=-2x-y =-2x-l(tfracdxdt-xr) =-2x-dxdt+x =-dxdt-x
Logo,
d^2xdt^2-dxdt =-dxdt-x Longrightarrow d^2xdt^2+x=0
Essa é a EDO do oscilador harmônico.

Passo 4

A solução geral de
d^2xdt^2+x=0
é
x(t)=C1cos t + C2sin t,
onde C1,C2 são constantes. Voltando em y=dxdt-x,
dxdt=-C1sin t + C2cos t,
y(t) =l(-C1sin t + C2cos tr) -l(C1cos t + C2sin tr) =(C2 - C1)cos t - (C1 + C2)sin t

Resposta

boxedx(t)=C1cos t + C2sin t, y(t)=(C2 - C1)cos t - (C1 + C2)sin t,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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