Exercício 6 (S.1.9)
A equação do tipo
chama-se equação de Riccati. Suponha que os coeficientes da equação () são funções contínuas de
. Mostre que se
é uma solução da equação (), então
é solução da equação (*) se, e somente se,
é uma solução da equação de Bernoulli (veja exercício anterior)
Ache as soluções de
sabendo que esta equação admite
como solução.
A equação do tipo
Passo 1
O enunciado trata da equação de Riccati
com
contínuas em
. Mostra que, se
é solução dessa equação, então
satisfaz a Riccati se, e somente se,
que é uma equação de Bernoulli no termo
. Em seguida, pede para resolver
sabendo que
é solução. Vamos usar o método geral de redução da Riccati a Bernoulli e depois resolver o caso específico.
Passo 2
Substituindo
na Riccati dá
Como
, ao subtrair a equação de
sobra
que é exatamente a forma de Bernoulli
.
Passo 3
Para a equação de Bernoulli
usa-se a substituição
. Então
ou seja
uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 4
No caso
temos
e
. Logo a Bernoulli para
é
isto é
,
.
Passo 5
Fazendo
obtemos
O fator integrante é
Multiplicando a linear por
e integrando:
logo
Passo 6
Sendo
, a solução geral fica
Renomeando a constante
, obtemos a forma mais limpa.
Resposta
A solução geral é
onde
é constante arbitrária.