Exercício 6 (S.1.9)
A equação do tipo
x^prime(t)=r(t) x^2+a(t) x+b(t) (*)
chama-se equação de Riccati. Suponha que os coeficientes da equação () são funções contínuas de t. Mostre que se varphi1 é uma solução da equação (), então varphi=varphi1+varphi2 é solução da equação (*) se, e somente se, varphi2 é uma solução da equação de Bernoulli (veja exercício anterior)
y^prime=(a(t)+2 r(t) varphi1(t)) y+r(t) y^2
Ache as soluções de
x^prime=xt+t^3 x^2-t^5
sabendo que esta equação admite varphi1(t)=t como solução.

Passo 1

O enunciado trata da equação de Riccati
x'(t)=r(t),x^2+a(t),x+b(t),
com r,a,b contínuas em t. Mostra que, se varphi1 é solução dessa equação, então varphi=varphi1+varphi2 satisfaz a Riccati se, e somente se,
varphi2'= l(a(t)+2,r(t),varphi1(t)r),varphi2 + r(t),varphi2^2,
que é uma equação de Bernoulli no termo varphi2. Em seguida, pede para resolver
x'=xt+t^3,x^2 - t^5
sabendo que varphi1(t)=t é solução. Vamos usar o método geral de redução da Riccati a Bernoulli e depois resolver o caso específico.

Passo 2

Substituindo varphi=varphi1+varphi2 na Riccati dá
varphi'=varphi1'+varphi2' e r,varphi^2+a,varphi+b =r,(varphi1+varphi2)^2 + a,(varphi1+varphi2)+b
Como varphi1'!=r,varphi1^2+a,varphi1+b, ao subtrair a equação de varphi1 sobra
varphi2' =2,r,varphi1,varphi2 + r,varphi2^2 + a,varphi2 =l(a+2,r,varphi1r)varphi2 + r,varphi2^2,
que é exatamente a forma de Bernoulli y'=P(t),y+Q(t),y^2.

Passo 3

Para a equação de Bernoulli
y'=P(t),y+Q(t),y^2
usa-se a substituição z=1/y. Então
z'=-y'y^2 =-P,y+Q,y^2y^2 =-P,z -Q,
ou seja
z'+P(t),z = -Q(t),
uma equação linear de primeira ordem para z.

Passo 4

No caso x'=tfrac x t + t^3 x^2 - t^5 temos
r(t)=t^3, a(t)=1t, b(t)=-t^5,
e varphi1(t)=t. Logo a Bernoulli para varphi2=y é
y' = l(tfrac1t +2,t^3cdot tr)y + t^3,y^2 =l(tfrac1t+2,t^4r)y + t^3,y^2,
isto é P(t)=tfrac1t+2t^4, Q(t)=t^3.

Passo 5

Fazendo z=1/y obtemos
z'+l(tfrac1t+2t^4r)z = -t^3
O fator integrante é
mu(t)=exp!l(!integral(tfrac1t+2t^4),dtr) =expl(ln t + tfrac2t^55r) = t,e^tfrac2t^55
Multiplicando a linear por mu e integrando:
(z,mu)' = -t^3,mu =-t^3,t,e^tfrac2t^55 =-t^4,e^tfrac2t^55,
z,mu = -integral t^4 e^tfrac2t^55dt + C =-12,e^tfrac2t^55+C,
z = C - tfrac12,e^tfrac2t^55t,e^tfrac2t^55 =2C - e^tfrac2t^552t,e^tfrac2t^55,
logo
y = 1z =2t,e^tfrac2t^552C - e^tfrac2t^55 =2t 2C,e^-tfrac2t^55 -1

Passo 6

Sendo x=varphi1+y=t+y, a solução geral fica
x(t) = t ;+;2t2C,e^-tfrac2t^55 -1 = t,2C,e^-tfrac2t^55 -1 +22C,e^-tfrac2t^55 -1 = t,2C,e^-tfrac2t^55+12C,e^-tfrac2t^55-1
Renomeando a constante 2Cto K, obtemos a forma mais limpa.

Resposta

A solução geral é
boxed x(t) = t,K,e^-tfrac2t^55+1K,e^-tfrac2t^55-1,
onde K é constante arbitrária.

Exercícios relacionados