Resolva os seguintes problemas, mostrando todos os cálculos intermediários e identificando o caso de frações parciais utilizado:
(Caso 3) Calcule integral 3 x^2+2 x+1x(x^2+1) d x .

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 3x^2+2x+1x,(x^2+1),dx
Este é um caso de frações parciais em que o denominador se decompõe em um fator linear x e um fator quadrático irreduzível x^2+1. Vamos usar o método de decomposição em frações parciais (Caso 3).

Passo 2

Assumimos que
3x^2+2x+1x,(x^2+1) ;=; Ax ;+; Bx + Cx^2+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x,(x^2+1) obtemos
3x^2 +2x +1 ;=; A,(x^2+1) ;+;(Bx + C),x
Expandindo o lado direito dá
A x^2 + A + B x^2 + C x ;=;(A+B)x^2 + Cx + A
Comparando coeficientes de x^2, x e termo constante resulta
A+B=3, C=2, A=1
Logo A=1, B=3-1=2 e C=2.

Passo 4

Substituindo na decomposição, a integral vira
integral 3x^2+2x+1x,(x^2+1),dx = integrall(1x + 2x+2x^2+1r),dx = integral 1x,dx + integral 2xx^2+1,dx + integral 2x^2+1,dx

Passo 5

Calculamos cada parte:
integral 1x,dx = lnlvert xrvert,
integral 2xx^2+1,dx = lnl(x^2+1r),
integral 2x^2+1,dx = 2,arctan(x)
Somando, obtemos
lnlvert xrvert + lnl(x^2+1r) + 2,arctan(x) + C

Resposta

integral 3x^2+2x+1x,(x^2+1),dx = lnllvert x(x^2+1)rrvert + 2,arctan(x) + C
Caso de frações parciais utilizado: Caso 3 (fator linear e fator quadrático irreduzível).

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