Resolva os seguintes problemas, mostrando todos os cálculos intermediários e identificando o caso de frações parciais utilizado:
(Caso 2) Calcule integral x^2+1(x-1)^2(x+2) d x .

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2+1(x-1)^2(x+2),dx
O conteúdo aqui é integração por frações parciais no caso de fator linear repetido (caso 2). Vamos decompor a função racional em somatório de termos simples e depois integrar cada um.

Passo 2

Proponho a decomposição
x^2+1(x-1)^2(x+2)=Ax-1+B(x-1)^2+Cx+2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)^2(x+2) obtemos
x^2+1 = A,(x-1)(x+2) + B,(x+2) + C,(x-1)^2
Para achar B, faça x=1:
1^2+1=2 = B,(1+2)=3B implies B=23
Para achar C, faça x=-2:
(-2)^2+1=5 = C,(-2-1)^2=9C implies C=59
Para achar A, use x=0:
0^2+1=1 = A,(0-1)(0+2) + B,(0+2) + C,(0-1)^2 = -2A + 2B + C
Substituindo B=tfrac23 e C=tfrac59:
1 = -2A + 43 + 59 = -2A + 179 implies -2A = -89 implies A=49

Passo 4

Com os valores de A, B e C, reescrevemos a integral:
integral x^2+1(x-1)^2(x+2),dx = integral l(4/9x-1 + 2/3(x-1)^2 + 5/9x+2r),dx

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral 4/9x-1,dx = 49lnlvert x-1rvert,
integral 2/3(x-1)^2,dx = 23integral (x-1)^-2dx = -23(x-1),
integral 5/9x+2,dx = 59lnlvert x+2rvert
Somando e incluindo a constante de integração C, temos:

Resposta

integral x^2+1(x-1)^2(x+2),dx = 49lnlvert x-1rvert -23(x-1) +59lnlvert x+2rvert + C

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