Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
integral 4 d x(e^x+e^-x)^2=-2e^2 x+1+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
integral 4,dxl(e^x+e^-xr)^2 =-2e^2x+1+C
é correto. Para isso, vamos assumir
F(x)=-2e^2x+1+C
e mostrar que F'(x) coincide com o integrando.

Passo 2

Primeiro, note que
e^x+e^-x=e^2x+1e^x Longrightarrow l(e^x+e^-xr)^2 =(e^2x+1)^2e^2x
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1l(e^x+e^-xr)^2 =e^2x(e^2x+1)^2

Passo 3

Agora derivamos
F(x)=-2,(e^2x+1)^-1
Pela regra da cadeia,
F'(x) =-2cdot(-1),(e^2x+1)^-2cdotddx(e^2x+1) =2,(e^2x+1)^-2cdot 2e^2x =4e^2x(e^2x+1)^2

Passo 4

Usando o resultado do Passo 2 vemos que
F'(x) =4e^2x(e^2x+1)^2 =4l(e^x+e^-xr)^2,
que é exatamente o integrando original. Portanto a igualdade está correta.

Resposta

A igualdade é válida, pois a derivada de -tfrac2e^2x+1+C é tfrac4(e^x+e^-x)^2.

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