Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
integral sen^2(x2) d x=x2-sen(x)2+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
integral sin^2!l(tfracx2r),dx = x2 - sin(x)2 + C
é uma igualdade válida. Para isso, vamos derivar o lado direito e checar se obtemos o integrando sin^2(x/2).

Passo 2

Defina
F(x) = x2 - sin(x)2 + C
Calculamos F'(x). A derivada de tfracx2 é tfrac12 e a derivada de -tfracsin(x)2 é -tfraccos(x)2.

Passo 3

Assim,
F'(x) = 12 - cos(x)2 = 1 - cos(x)2

Passo 4

Recordando a identidade trigonométrica
sin^2!l(tfracx2r) = 1 - cos(x)2,
vemos que
F'(x) = sin^2!l(tfracx2r)
Isto mostra que a derivada do lado direito é exatamente o integrando.

Resposta

A igualdade é válida.

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