Resolva os seguintes problemas utilizando a teoria de Máximos e Mínimos:
O Departamento de Trânsito de uma cidade depois de uma pesquisa constatou que, num dia normal da semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente
quilômetros por hora, onde
é o número de horas transcorridas após o meio dia. A que horas no intervalo de 2 às 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que horas flui mais lentamente?
O Departamento de Trânsito de uma cidade depois de uma pesquisa constatou que, num dia normal da semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente
Passo 1
O enunciado fornece a função velocidade do tráfego
onde
é o número de horas transcorridas após o meio-dia. O intervalo de interesse é de
até
(ou seja, entre as 14h e as 19h).
O que o problema pede:
O que o problema pede:
- Determinar em que horas, no intervalo
, o tráfego flui mais rapidamente (máxima velocidade). - Determinar em que horas, no intervalo
, o tráfego flui mais lentamente (mínima velocidade).
Informações relevantes dadas: - A função velocidade
como acima. - O intervalo fechado
.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): em um intervalo fechado, a velocidade máxima e mínima de uma função contínua ocorrem em pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) ou nas extremidades do intervalo. Aqui
é polinomial (portanto contínua e diferenciável em todo
).
Procedimento que será usado:
Procedimento que será usado:
- Calcular a derivada
. - Encontrar os pontos
em tais que (pontos críticos). - Classificar cada ponto crítico (teste da segunda derivada ou análise do sinal da derivada).
- Avaliar
nos pontos críticos e nas extremidades e . - Comparar os valores para decidir qual é máximo absoluto e qual é mínimo absoluto no intervalo.
Passo 3
Calcular a derivada
. A derivada de um polinômio é feita termo a termo usando a regra
. Assim:
Calculando cada termo:
Portanto
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
. Simplificando por
:
Resolver a equação quadrática. O discriminante é
As raízes são
Logo
Ambos os pontos
e
estão dentro do intervalo
, portanto são pontos críticos relevantes.
Passo 5
Classificar cada ponto crítico usando a segunda derivada. A segunda derivada é a derivada de
:
Avaliar
nos pontos críticos:
- Em
:
Como
,
tem um máximo local em
.
- Em
:
Como
,
tem um mínimo local em
.
Passo 6
Como queremos os extremos absolutos no intervalo fechado
, avaliamos
em todos os candidatos:
,
,
,
. Calculos detalhados das avaliações:
Avaliar em
:
Calcular passo a passo:
Então
Somando:
Portanto
.
Avaliar em
:
Cálculos:
Então
Somando:
Portanto
.
Avaliar em
:
Cálculos:
Então
Somando:
Portanto
.
Avaliar em
:
Cálculos:
Então
Somando:
Portanto
.
Passo 7
Comparar os valores obtidos:
O maior valor entre esses é
em
. O menor valor é
em
. Como verificamos os pontos críticos e as extremidades, esses são os extremos absolutos no intervalo
. Interpretando em horas após o meio-dia:
-
corresponde a horas, ou seja, h (3:00 pm). -
corresponde a horas, ou seja, h (6:00 pm).
Resposta
Tráfego flui mais rapidamente às
horas com velocidade
Tráfego flui mais lentamente às horas com velocidade
Tráfego flui mais lentamente às