Resolva os seguintes problemas utilizando a teoria de Máximos e Mínimos:
O Departamento de Trânsito de uma cidade depois de uma pesquisa constatou que, num dia normal da semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente V(t)=2 t^{3}-27 t^{2}+108 t-35 quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o meio dia. A que horas no intervalo de 2 às 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que horas flui mais lentamente?

Passo 1

O enunciado fornece a função velocidade do tráfego
V(t)=2t^{3}-27t^{2}+108t-35,
onde t é o número de horas transcorridas após o meio-dia. O intervalo de interesse é de t=2 até t=7 (ou seja, entre as 14h e as 19h).
O que o problema pede:
  • Determinar em que horas, no intervalo [2,7], o tráfego flui mais rapidamente (máxima velocidade).
  • Determinar em que horas, no intervalo [2,7], o tráfego flui mais lentamente (mínima velocidade).
    Informações relevantes dadas:
  • A função velocidade V(t) como acima.
  • O intervalo fechado [2,7].

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): em um intervalo fechado, a velocidade máxima e mínima de uma função contínua ocorrem em pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) ou nas extremidades do intervalo. Aqui V(t) é polinomial (portanto contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}).
Procedimento que será usado:
  1. Calcular a derivada V'(t).
  2. Encontrar os pontos t em [2,7] tais que V'(t)=0 (pontos críticos).
  3. Classificar cada ponto crítico (teste da segunda derivada ou análise do sinal da derivada).
  4. Avaliar V(t) nos pontos críticos e nas extremidades t=2 e t=7.
  5. Comparar os valores para decidir qual é máximo absoluto e qual é mínimo absoluto no intervalo.

Passo 3

Calcular a derivada V'(t). A derivada de um polinômio é feita termo a termo usando a regra d/dt(t^{n})=n t^{n-1}. Assim:
V'(t)=\frac{d}{dt}\big(2t^{3}\big)-\frac{d}{dt}\big(27t^{2}\big)+\frac{d}{dt}\big(108t\big)-\frac{d}{dt}(35).
Calculando cada termo:
\frac{d}{dt}(2t^{3})=6t^{2},\quad \frac{d}{dt}(27t^{2})=54t,\quad \frac{d}{dt}(108t)=108,\quad \frac{d}{dt}(35)=0.
Portanto
V'(t)=6t^{2}-54t+108.

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo V'(t)=0. Simplificando por 6:
V'(t)=6\big(t^{2}-9t+18\big)=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}-9t+18=0.
Resolver a equação quadrática. O discriminante é
\Delta = (-9)^{2}-4\cdot 1\cdot 18 =81-72=9.
As raízes são
t=\frac{9\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{9\pm 3}{2}.
Logo
t=\frac{9-3}{2}=3\quad\text{e}\quad t=\frac{9+3}{2}=6.
Ambos os pontos t=3 e t=6 estão dentro do intervalo [2,7], portanto são pontos críticos relevantes.

Passo 5

Classificar cada ponto crítico usando a segunda derivada. A segunda derivada é a derivada de V'(t):
V''(t)=\frac{d}{dt}\big(6t^{2}-54t+108\big)=12t-54.
Avaliar V'' nos pontos críticos:
  • Em t=3:
V''(3)=12\cdot 3 -54 =36-54 = -18 <0.
Como V''(3)<0, V tem um máximo local em t=3.
  • Em t=6:
V''(6)=12\cdot 6 -54 =72-54 = 18 >0.
Como V''(6)>0, V tem um mínimo local em t=6.

Passo 6

Como queremos os extremos absolutos no intervalo fechado [2,7], avaliamos V(t) em todos os candidatos: t=2, t=3, t=6, t=7. Calculos detalhados das avaliações:
Avaliar em t=2:
V(2)=2\cdot 2^{3}-27\cdot 2^{2}+108\cdot 2-35.
Calcular passo a passo:
2^{3}=8\Rightarrow 2\cdot 8=16, \qquad 2^{2}=4\Rightarrow 27\cdot 4=108, \qquad 108\cdot 2=216.
Então
V(2)=16-108+216-35.
Somando:
16+216=232,\qquad 232-108=124,\qquad 124-35=89.
Portanto V(2)=89.
Avaliar em t=3:
V(3)=2\cdot 3^{3}-27\cdot 3^{2}+108\cdot 3-35.
Cálculos:
3^{3}=27\Rightarrow 2\cdot 27=54, \qquad 3^{2}=9\Rightarrow 27\cdot 9=243, \qquad 108\cdot 3=324.
Então
V(3)=54-243+324-35.
Somando:
54+324=378,\qquad 378-243=135,\qquad 135-35=100.
Portanto V(3)=100.
Avaliar em t=6:
V(6)=2\cdot 6^{3}-27\cdot 6^{2}+108\cdot 6-35.
Cálculos:
6^{3}=216\Rightarrow 2\cdot 216=432, \qquad 6^{2}=36\Rightarrow 27\cdot 36=972, \qquad 108\cdot 6=648.
Então
V(6)=432-972+648-35.
Somando:
432+648=1080,\qquad 1080-972=108,\qquad 108-35=73.
Portanto V(6)=73.
Avaliar em t=7:
V(7)=2\cdot 7^{3}-27\cdot 7^{2}+108\cdot 7-35.
Cálculos:
7^{3}=343\Rightarrow 2\cdot 343=686, \qquad 7^{2}=49\Rightarrow 27\cdot 49=1323, \qquad 108\cdot 7=756.
Então
V(7)=686-1323+756-35.
Somando:
686+756=1442,\qquad 1442-1323=119,\qquad 119-35=84.
Portanto V(7)=84.

Passo 7

Comparar os valores obtidos:
V(2)=89,\quad V(3)=100,\quad V(6)=73,\quad V(7)=84.
O maior valor entre esses é 100 em t=3. O menor valor é 73 em t=6. Como verificamos os pontos críticos e as extremidades, esses são os extremos absolutos no intervalo [2,7]. Interpretando em horas após o meio-dia:
  • t=3 corresponde a 15 horas, ou seja, 15h (3:00 pm).
  • t=6 corresponde a 18 horas, ou seja, 18h (6:00 pm).

Resposta

Tráfego flui mais rapidamente às 15 horas com velocidade 100\\ \text{km/h}.
Tráfego flui mais lentamente às 18 horas com velocidade 73\\ \text{km/h}.

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