Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime-y^prime-2 y=0 ; y(0)=2, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial comum que envolve derivadas de segunda ordem: y'' - y' - 2y = 0 . As condições iniciais são y(0) = 2 e y'(0) = 1 . Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a, que é ótimo para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea y'' - y' - 2y = 0 . Para isso, vamos montar a equação característica, que é uma ferramenta que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica.

Passo 3

A equação característica para y'' - y' - 2y = 0 é:
r^2 - r - 2 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática r^2 - r - 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, os valores de r são:
r1 = 2 e r2 = -1

Passo 5

Com os valores de r encontrados, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar a primeira condição inicial y(0) = 2 :
2 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 2 = C1 + C2

Passo 7

Agora, precisamos da derivada de y(t) para aplicar a segunda condição inicial. Derivando y(t) :
y'(t) = 2C1 e^2t - C2 e^-t
Aplicando y'(0) = 1 :
1 = 2C1 e^0 - C2 e^0 Rightarrow 1 = 2C1 - C2

Passo 8

Agora temos um sistema de equações:
C1 + C2 = 2 2C1 - C2 = 1
Vamos resolver esse sistema para encontrar C1 e C2 .

Passo 9

Somando as duas equações:
C1 + C2 + 2C1 - C2 = 2 + 1 Rightarrow 3C1 = 3 Rightarrow C1 = 1
Substituindo C1 = 1 na primeira equação:
1 + C2 = 2 Rightarrow C2 = 1

Passo 10

Com C1 = 1 e C2 = 1 , a solução particular da equação diferencial é:
y(t) = e^2t + e^-t

Resposta

A solução do problema de valor inicial é y(t) = e^2t + e^-t .

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