Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial comum que envolve derivadas de segunda ordem: . As condições iniciais são e . Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a, que é ótimo para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea . Para isso, vamos montar a equação característica, que é uma ferramenta que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica.
Passo 3
A equação característica para é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores de são:
Passo 5
Com os valores de encontrados, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Passo 7
Agora, precisamos da derivada de para aplicar a segunda condição inicial. Derivando :
Aplicando :
Passo 8
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar C1 e C2 .