Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Antes de aplicar o método do fator integrante, verifique se as equações diferenciais são lineares e, quando necessário, reescreva-as na forma padrão.
t y^{\prime}+2 y=\sin t, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, t>0

Passo 1

O problema fornece a equação diferencial e a condição inicial:
t\,y'(t)+2\,y(t)=\sin t,\qquad y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\qquad t>0.
O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial para t>0 e que verifica a condição inicial em t=\frac{\pi}{2}.

Passo 2

Verificar se a equação é linear e reescrevê-la na forma padrão. Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita como
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t),
onde p(t) e q(t) são dadas funções de t.
Dividindo a equação dada por t (permissível porque t>0), obtemos a forma padrão:
y'(t)+\frac{2}{t}\,y(t)=\frac{\sin t}{t}.
Portanto a equação é linear de primeira ordem com
p(t)=\frac{2}{t},\qquad q(t)=\frac{\sin t}{t}.

Passo 3

Apresentar e calcular o fator integrante. Para a equação y'+p(t)y=q(t) o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Aqui
\int p(t)\,dt=\int \frac{2}{t}\,dt=2\ln t=\ln(t^2),
e como t>0 temos
\mu(t)=e^{\ln(t^2)}=t^2.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=t^2 obtemos
t^2 y'(t)+2t\,y(t)=t\sin t.
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(t)y(t)=t^2 y(t), pois
\frac{d}{dt}\big(t^2 y(t)\big)=t^2 y'(t)+2t\,y(t).

Passo 4

Integrar ambos os lados. Escrevendo a igualdade como derivada:
\frac{d}{dt}\big(t^2 y(t)\big)=t\sin t.
Integrando em t,
t^2 y(t)=\int t\sin t\,dt + C.
Calcular a integral por partes. Seja u=t e dv=\sin t\,dt. Então du=dt e v=-\cos t. Assim
\int t\sin t\,dt = -t\cos t + \int \cos t\,dt = -t\cos t + \sin t + C.
Portanto
t^2 y(t) = -t\cos t + \sin t + C.

Passo 5

Isolar y(t) e aplicar a condição inicial. Dividindo por t^2,
y(t)=\frac{-t\cos t + \sin t + C}{t^2}.
Impor y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. Substituindo t=\frac{\pi}{2}:
1 = \frac{-\tfrac{\pi}{2}\cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big) + \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big) + C}{\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^2}.
Como \cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0 e \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1, isso dá
1 = \frac{1 + C}{\pi^2/4}\quad\Rightarrow\quad 1+C=\frac{\pi^2}{4}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{\pi^2}{4}-1.

Passo 6

Substituir C na expressão geral e escrever a solução final. Assim
y(t)=\frac{-t\cos t + \sin t + \dfrac{\pi^2}{4}-1}{t^2},\qquad t>0.

Resposta

y(t)=\frac{-t\cos t + \sin t + \dfrac{\pi^2}{4}-1}{t^2},\qquad t>0.

Exercícios relacionados