Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Antes de aplicar o método do fator integrante, verifique se as equações diferenciais são lineares e, quando necessário, reescreva-as na forma padrão.
Passo 1
O problema fornece a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial para
e que verifica a condição inicial em
.
Passo 2
Verificar se a equação é linear e reescrevê-la na forma padrão. Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita como
onde
e
são dadas funções de
.
Dividindo a equação dada por
(permissível porque
), obtemos a forma padrão:
Portanto a equação é linear de primeira ordem com
Passo 3
Apresentar e calcular o fator integrante. Para a equação
o fator integrante é
Aqui
e como
temos
Multiplicando a equação padrão por
obtemos
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Passo 4
Integrar ambos os lados. Escrevendo a igualdade como derivada:
Integrando em
,
Calcular a integral por partes. Seja
e
. Então
e
. Assim
Portanto
Passo 5
Isolar
e aplicar a condição inicial. Dividindo por
,
Impor
. Substituindo
:
Como
e
, isso dá
Passo 6
Substituir
na expressão geral e escrever a solução final. Assim