Resolva os seguintes problemas de valor inicial baseados em EDO’s Exatas:
(2 x y+y^2) d x+(x^2+2 x y) d y=0, y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
(2xy + y^2),dx + (x^2 + 2xy),dy = 0
com a condição inicial y(1)=1.
Este é um problema de equação diferencial exata: vamos verificar a exatidão e encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que dPsi=0.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 2xy + y^2, N(x,y) = x^2 + 2xy
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2x + 2y, partial Npartial x = 2x + 2y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos Psi(x,y) satisfazendo
partial Psipartial x = M(x,y)
Integramos M em relação a x:
Psi(x,y) = integral (2xy + y^2),dx = x^2y + x y^2 + h(y),
onde h(y) é função de y só.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
partial Psipartial y = x^2 + 2xy + h'(y) stackrel!= N(x,y) = x^2 + 2xy
Daí h'(y)=0, logo h(y)=constante. A solução implícita geral é
x^2y + x y^2 = C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=1:
1^2cdot1 + 1cdot1^2 = C Longrightarrow C=2
Assim a solução implícita satisfaz
x^2y + x y^2 = 2

Passo 6

Para obter y explicitamente, escrevemos
x,y^2 + x^2y - 2 = 0
como equação quadrática em y. O discriminante é
De<a = (x^2)^2 - 4,(x),(-2) = x^4 + 8x
Pela fórmula de Bhaskara,
y = -x^2 pm raizx^4 + 8x2x
Para satisfazer y(1)=1, escolhemos o sinal “ +”. Logo
y(x) = raizx^4 + 8x - x^22x

Resposta

y(x) = raizx^4 + 8x - x^22x,
sendo este ramo o que satisfaz y(1)=1.

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