Resolva os seguintes problemas de valor inicial baseados em EDO’s Exatas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
com a condição inicial
.
Este é um problema de equação diferencial exata: vamos verificar a exatidão e encontrar uma função potencial tal que
.
Este é um problema de equação diferencial exata: vamos verificar a exatidão e encontrar uma função potencial
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos
satisfazendo
Integramos
em relação a
:
onde
é função de
só.
Passo 4
Para determinar
, usamos
Daí
, logo
. A solução implícita geral é
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
Assim a solução implícita satisfaz
Passo 6
Para obter
explicitamente, escrevemos
como equação quadrática em
. O discriminante é
Pela fórmula de Bhaskara,
Para satisfazer
, escolhemos o sinal “
”. Logo
Resposta
sendo este ramo o que satisfaz
.