Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^prime prime-2 y^prime+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 5y = 0
O conteúdo aqui é resolver usando a equação característica associada.

Passo 2

Associamos à equação diferencial a equação característica, trocando y por e^rx, de modo que
r^2 - 2r + 5 = 0

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática pelo discriminante:
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot5 = 4 - 20 = -16,
portanto as raízes são
r = 2 pm raiz-162 = 2 pm 4i2 = 1 pm 2i

Passo 4

Para raízes complexas conjugadas r = alpha pm ibeta, com alpha=1 e beta=2, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)

Resposta

y(x) = e^xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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