Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
d. ly d yd x=(x-1) e^-y^2, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO inicial
ydydx = (x-1)e^-y^2, y(0)=1
Isso é um problema de equação diferencial separável: a gente precisa escrever tudo em termos de y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Começamos isolando as variáveis. Dividindo por e^-y^2 e por y e multiplicando, obtemos
y e^y^2,dy = (x-1),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. De um lado,
integral y e^y^2,dy = 12 e^y^2 + C1,
e do outro,
integral (x-1),dx = x^22 - x + C2
Podemos absorver C1 e C2 numa única constante C. Assim,
12 e^y^2 = x^22 - x + C

Passo 4

Usando a condição inicial y(0)=1, temos
12 e^1^2 = 0^22 - 0 + C Longrightarrow C = 12 e
Substituindo de volta,
12 e^y^2 = x^22 - x + 12 e
Multiplicando tudo por 2,
e^y^2 = x^2 - 2x + e

Passo 5

Finalmente, isolamos y. Tomando logaritmo e a raiz positiva (para atender y(0)=1>0):
y^2 = lnl(x^2 - 2x + er),
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y(x) = raizlnl(x^2 - 2x + er)

Resposta

y(x) = raizlnl(x^2 - 2x + er)

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