Verificar a convergência da seguinte série. Justifique
Passo 1
Vamos analisar a série infinita
. O objetivo é verificar se essa série converge ou não. Para isso, vamos utilizar o Teste da Comparação, que nos permite comparar a série em questão com outra série conhecida para determinar sua convergência.
Passo 2
Primeiro, observamos o termo geral da série:
. Sabemos que a função logarítmica,
, cresce mais lentamente que qualquer potência de
. Ou seja, para grandes valores de
,
é menor que
para qualquer
.
Passo 3
Vamos comparar nossa série com a série
, conhecida como Série p. A Série p converge se
. No nosso caso, o denominador é
, então
, que é maior que 1. Além disso, como
para grandes
, temos:
No entanto, a Série p com
(a série harmônica) diverge. Portanto, precisamos de uma comparação mais adequada.
Passo 4
Vamos escolher uma comparação melhor. Considerando que
cresce mais lentamente que qualquer potência positiva de
, podemos afirmar que para algum
,
. Escolhendo
, temos:
Ainda assim, essa comparação não é suficiente. Portanto, vamos utilizar o Teste da Limit Comparison com a série
, que sabemos ser convergente.
Calculamos o limite:
Como o limite é infinito e a Série p com
converge, conclui-se que a nossa série original também converge.
Resposta
A série
é convergente.