Verificar a convergência da seguinte série. Justifique
sum log nn^2

Passo 1

Vamos analisar a série infinita sum log nn^2. O objetivo é verificar se essa série converge ou não. Para isso, vamos utilizar o Teste da Comparação, que nos permite comparar a série em questão com outra série conhecida para determinar sua convergência.

Passo 2

Primeiro, observamos o termo geral da série: log nn^2. Sabemos que a função logarítmica, log n, cresce mais lentamente que qualquer potência de n. Ou seja, para grandes valores de n, log n é menor que n^a para qualquer a > 0.

Passo 3

Vamos comparar nossa série com a série sum 1n^p, conhecida como Série p. A Série p converge se p > 1. No nosso caso, o denominador é n^2, então p = 2, que é maior que 1. Além disso, como log n < n^1 para grandes n, temos:
log nn^2 < nn^2 = 1n
No entanto, a Série p com p = 1 (a série harmônica) diverge. Portanto, precisamos de uma comparação mais adequada.

Passo 4

Vamos escolher uma comparação melhor. Considerando que log n cresce mais lentamente que qualquer potência positiva de n, podemos afirmar que para algum k > 0, log n < n^k. Escolhendo k = 1, temos:
log nn^2 < nn^2 = 1n
Ainda assim, essa comparação não é suficiente. Portanto, vamos utilizar o Teste da Limit Comparison com a série sum 1n^2, que sabemos ser convergente.
Calculamos o limite:
limn to infty log nn^21n^2 = limn to infty log n = infty
Como o limite é infinito e a Série p com p = 2 converge, conclui-se que a nossa série original também converge.

Resposta

A série sum log nn^2 é convergente.

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