Resolva os seguintes problemas de valor inicial
d Nd t+1t N=t ; N(2)=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
dNdt + 1tN = t
com a condição inicial N(2)=8. Para isso vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos que a forma geral é
dNdt + p(t),N = q(t)
com p(t)=1/t. O fator integrante é
mu(t) = exp!l(integral p(t),dtr) = exp!l(integral 1t,dtr) = e^ln t = t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(t)=t, obtendo
tdNdt + N = t^2
O lado esquerdo é justamente a derivada de tN, pois
ddtl(tNr) = tdNdt + N

Passo 4

Portanto a equação vira
ddtl(tNr) = t^2
Integrando ambos os lados em relação a t,
tN = integral t^2,dt = t^33 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando N, obtemos a solução geral
N(t) = t^23 + Ct

Passo 6

Usamos a condição inicial N(2)=8:
8 = 2^23 + C2 ;;Longrightarrow;; 8 = 43 + C2 ;;Longrightarrow;; C2 = 8 - 43 = 24-43 = 203 ;;Longrightarrow;; C = 403

Passo 7

Substituindo C=tfrac403 na solução geral, temos a solução particular
N(t) = t^23 + 403,t

Resposta

N(t) = t^23 + 403t

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