Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de valor inicial
com condição
. É uma equação diferencial separável, então vamos usar separação de variáveis e integração.
Passo 2
Separamos as variáveis, juntando termos de
num lado e termos de
no outro. Isso dá:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados para obter a solução implícita. Integramos:
que resulta em
.
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
substituindo
e
na expressão implícita para achar
:
, logo
.
Passo 5
Substituindo
na solução geral e multiplicando por 2, obtemos
. Completando o quadrado no lado esquerdo, temos:
Isso dá
. Para satisfazer
, tomamos o sinal positivo, ou seja
. Portanto, a solução é
.