Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
d yd x=xy+1, com y(1)=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de valor inicial dydx = xy+1 com condição y(1)=0. É uma equação diferencial separável, então vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Separamos as variáveis, juntando termos de y num lado e termos de x no outro. Isso dá:
(y+1),dy = x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados para obter a solução implícita. Integramos:
integral (y+1),dy = integral x,dx
que resulta em tfracy^22 + y = tfracx^22 + C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=0 substituindo x=1 e y=0 na expressão implícita para achar C: 0 + 0 = tfrac12 + C, logo C = -tfrac12.

Passo 5

Substituindo C=-tfrac12 na solução geral e multiplicando por 2, obtemos y^2 + 2y = x^2 - 1. Completando o quadrado no lado esquerdo, temos:
(y+1)^2 = x^2
Isso dá y+1 = pm x. Para satisfazer y(1)=0, tomamos o sinal positivo, ou seja y+1 = x. Portanto, a solução é y = x - 1.

Resposta

y = x - 1

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