Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty:
ly prime prime+3 y prime=0 y(0)=-2 ; y^prime(0)=3

Passo 1

Neste exercício vamos resolver o problema de valor inicial para a EDO de segunda ordem y''+3y'=0 com condições y(0)=-2 e y'(0)=3. O conteúdo aqui é EDO linear de coeficientes constantes sem termo em y, e precisaremos formar e resolver a equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associado à suposição y=e^rt. Isso gera
r^2 + 3r = 0

Passo 3

Resolvendo r(r+3)=0 obtemos as raízes r1=0 e r2=-3.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^0,t + C2 e^-3t = C1 + C2 e^-3t
Derivamos para usar a condição sobre y:
y'(t) = -3 C2 e^-3t

Passo 5

Aplicando as condições iniciais obtemos o sistema:
y(0)=C1 + C2 = -2, y'(0)=-3C2 = 3

Passo 6

Da segunda equação vem C2=-1, e daí C1=-1.

Passo 7

Substituindo na solução geral, a solução particular é
y(t) = -1 - e^-3t
Para analisar o comportamento quando t to infty, note que e^-3t to 0. Logo,
y(t) to -1 quando t to infty

Resposta

A solução é y(t) = -1 - e^-3t, e quando t to infty, y(t) to -1.

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