Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando
:
Passo 1
Neste exercício vamos resolver o problema de valor inicial para a EDO de segunda ordem
com condições
e
. O conteúdo aqui é EDO linear de coeficientes constantes sem termo em
, e precisaremos formar e resolver a equação característica.
Passo 2
Formamos a equação característica associado à suposição
. Isso gera
Passo 3
Resolvendo
obtemos as raízes
e
.
Passo 4
Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO é
Derivamos para usar a condição sobre
:
Passo 5
Aplicando as condições iniciais obtemos o sistema:
Passo 6
Da segunda equação vem
, e daí
.
Passo 7
Substituindo na solução geral, a solução particular é
Para analisar o comportamento quando
, note que
. Logo,
Resposta
A solução é
, e quando
,
.