Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial das EDOS de coeficientes constantes:
(c) y^{\prime \prime}+y^{\prime}+9 y=0, \quad y(0)=0.16, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais:
y''+y'+9y=0,\qquad y(0)=0,16,\qquad y'(0)=0.
O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz a EDO e as condições iniciais dadas.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos usar).
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes como
y''+ay'+by=0,
procura-se uma solução da forma exponencial y(t)=e^{rt}. Substituindo na EDO obtém-se a equação algébrica chamada equação característica:
r^{2}+ar+b=0.
As raízes r dessa quadrática determinam o tipo de solução:
  • se as raízes são reais e diferentes, a solução geral é combinação de exponenciais reais;
  • se são reais iguais, a solução geral tem termo adicional t e^{rt};
  • se são complexas conjuntas r=\alpha\pm i\beta, a solução é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big),
que representa uma oscilação com amortecimento/exponencial e^{\alpha t}.

Passo 3

Apliquemos isso ao nosso problema. A equação característica associada é
r^{2}+r+9=0.
Calculamos o discriminante:
\Delta=1-4\cdot1\cdot9=1-36=-35<0,
portanto as raízes são complexas conjugadas. As raízes são
r=\frac{-1\pm\sqrt{-35}}{2}=\frac{-1}{2}\pm i\frac{\sqrt{35}}{2}.
Definindo
\alpha=-\tfrac{1}{2},\qquad \omega=\tfrac{\sqrt{35}}{2},
a solução geral tem a forma indicada no passo anterior.

Passo 4

Escrevendo explicitamente a solução geral para as raízes complexas:
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\big)
ou seja
y(t)=e^{-t/2}\big(C_{1}\cos(\tfrac{\sqrt{35}}{2}t)+C_{2}\sin(\tfrac{\sqrt{35}}{2}t)\big).
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 5

Usando y(0)=0,16. Substituindo t=0 na solução:
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Portanto
C_{1}=0,16.

Passo 6

Agora calculamos y'(t) para usar y'(0)=0. Começamos derivando a expressão
y(t)=e^{-t/2}\big(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\big),
onde \omega=\tfrac{\sqrt{35}}{2}. Aplicando a regra do produto:
y'(t)=\underbrace{\frac{d}{dt}\big(e^{-t/2}\big)}_{= -\tfrac{1}{2}e^{-t/2}}\big(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\big) + e^{-t/2}\underbrace{\frac{d}{dt}\big(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\big)}_{= -C_{1}\omega\sin(\omega t)+C_{2}\omega\cos(\omega t)}.
Juntando termos:
y'(t)=e^{-t/2}\Big(-C_{1}\omega\sin(\omega t)+C_{2}\omega\cos(\omega t)-\tfrac{1}{2}C_{1}\cos(\omega t)-\tfrac{1}{2}C_{2}\sin(\omega t)\Big).

Passo 7

Avaliar em t=0. Sabendo \sin 0=0, \cos 0=1 e e^{0}=1, temos
y'(0)= -C_{1}\omega\cdot 0 + C_{2}\omega\cdot 1 -\tfrac{1}{2}C_{1}\cdot 1 -\tfrac{1}{2}C_{2}\cdot 0 = C_{2}\omega -\tfrac{1}{2}C_{1}.
A condição inicial diz y'(0)=0, logo
0 = C_{2}\omega -\tfrac{1}{2}C_{1}\quad\Longrightarrow\quad C_{2}=\frac{C_{1}}{2\omega}.

Passo 8

Substituímos C_{1}=0,16 e \omega=\tfrac{\sqrt{35}}{2}. Calculando 2\omega 2\omega=\sqrt{35}. Assim
C_{2}=\frac{0,16}{\sqrt{35}}.

Passo 9

Escrevendo a solução final com os valores de C_{1} e C_{2}:
y(t)=e^{-t/2}\left(0,16\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2}t\big)+\frac{0,16}{\sqrt{35}}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2}t\big)\right).
Podemos factorar 0,16 se quiser:
y(t)=0,16\,e^{-t/2}\left(\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2}t\big)+\frac{1}{\sqrt{35}}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2}t\big)\right).

Resposta

y(t)=0,16\,e^{-t/2}\left(\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2}t\big)+\frac{1}{\sqrt{35}}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{35}}{2}t\big)\right)

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