Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial das EDOS de coeficientes constantes:
(c) y^{\prime \prime}+y^{\prime}+9 y=0, \quad y(0)=0.16, \quad y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais:
y''+y'+9y=0,\qquad y(0)=0,16,\qquad y'(0)=0.
O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz a EDO e as condições iniciais dadas.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos usar).
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes como
y''+ay'+by=0,
procura-se uma solução da forma exponencial y(t)=e^{rt}. Substituindo na EDO obtém-se a equação algébrica chamada equação característica:
r^{2}+ar+b=0.
As raízes r dessa quadrática determinam o tipo de solução:
se as raízes são reais e diferentes, a solução geral é combinação de exponenciais reais;
se são reais iguais, a solução geral tem termo adicional t e^{rt};
se são complexas conjuntas r=\alpha\pm i\beta, a solução é