Verifique as soluções da EDOs abaixo:
Verifique se y(x)=e^{x^{2}} é solução da equação \frac{d y}{d x}=2 x y.

Passo 1

O enunciado dá a função y(x)=e^{x^{2}} e pede para verificar se ela satisfaz a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=2 x y.
Informações fornecidas:
  • A função candidata é y(x)=e^{x^{2}}.
  • A equação a verificar é \dfrac{d y}{d x}=2 x y.
    O que precisamos fazer: calcular \dfrac{d y}{d x} a partir de y(x)=e^{x^{2}} e comparar com o lado direito 2 x y.

Passo 2

Vamos aprender a regra que precisamos usar: a regra da cadeia para derivadas. Ela diz que, se y(x)=f(u(x)) com u função de x, então
\frac{d y}{d x}=f'(u(x))\cdot u'(x).
No caso de uma exponencial f(u)=e^{u}, tem-se f'(u)=e^{u}. Assim, para y(x)=e^{u(x)} vale a fórmula específica
\frac{d}{d x}e^{u(x)}=e^{u(x)}\;u'(x).
Explicando cada termo:
  • u(x) é a função que está no expoente (a “parte interna”);
  • u'(x) é a derivada dessa parte interna em relação a x;
  • e^{u(x)} é a derivada da exponencial em relação a u.
Exemplo simples para fixar: se y(x)=e^{3x}, então aqui u(x)=3x e u'(x)=3, logo \dfrac{d y}{d x}=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso. Tome
y(x)=e^{x^{2}}.
Identificamos u(x)=x^{2}. Então u'(x)=\dfrac{d}{d x}x^{2}=2x. Pela fórmula da derivada da exponencial,
\frac{d y}{d x}=e^{u(x)}\;u'(x)=e^{x^{2}}\cdot 2x.
Reescrevendo,
\frac{d y}{d x}=2x\,e^{x^{2}}.
Agora compare com o lado direito da equação dada: 2x\,y. Como y=e^{x^{2}}, tem-se
2x\,y=2x\,e^{x^{2}}.
Logo os dois lados coincidem:
\frac{d y}{d x}=2x\,e^{x^{2}}=2x\,y.

Resposta

Sim. y(x)=e^{x^{2}} é solução da equação \dfrac{d y}{d x}=2 x y.

Exercícios relacionados