Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial das EDOS de coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado pelos dados abaixo (tudo retirado do enunciado):
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
Objetivo explícito: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Estratégia geral (o que vamos usar, explicado passo a passo).
Para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes da forma
Para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes da forma
procura-se uma solução da forma
. Isso leva à equação característica
No nosso caso
e
, então a equação característica é
Vamos resolver essa equação e usar o tipo de raízes que aparecer (reais distintas, reais repetidas ou complexas conjugadas) para escrever a forma geral da solução real.
Passo 3
Resolver a equação característica e interpretar as raízes.
Resolvendo
Resolvendo
As raízes são complexas conjugadas
. Para raízes do tipo
(ou seja
e
), a solução geral real é a combinação linear das funções seno e cosseno:
Aqui
, portanto a solução geral do problema (antes de aplicar condições iniciais) é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Calcular a derivada
para aplicar a condição
.
Derivando a expressão geral:
Derivando a expressão geral:
Agora avaliamos
e
em
e aplicamos as condições iniciais.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais e resolver para
e
.
Avaliação em :
Avaliação em
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Para a derivada:
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