Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial das EDOS de coeficientes constantes:
y^{\prime \prime}+25 y=0, \quad y(0)=4.6, \quad y^{\prime}(0)=-1.2

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado pelos dados abaixo (tudo retirado do enunciado):
  • Equação diferencial: y''+25\,y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=4,6,\qquad y'(0)=-1,2.
Objetivo explícito: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Estratégia geral (o que vamos usar, explicado passo a passo).
Para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes da forma
y''+a\,y'+b\,y=0,
procura-se uma solução da forma \mathrm{e}^{r x}. Isso leva à equação característica
r^{2}+a r+b=0.
No nosso caso a=0 e b=25, então a equação característica é
r^{2}+25=0.
Vamos resolver essa equação e usar o tipo de raízes que aparecer (reais distintas, reais repetidas ou complexas conjugadas) para escrever a forma geral da solução real.

Passo 3

Resolver a equação característica e interpretar as raízes.
Resolvendo
r^{2}+25=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=-25 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 5\,\mathrm{i}.
As raízes são complexas conjugadas r=\pm 5\mathrm{i}. Para raízes do tipo \pm \mathrm{i}\omega (ou seja a=0 e b=\omega^{2}), a solução geral real é a combinação linear das funções seno e cosseno:
y(x)=C_{1}\cos(\omega x)+C_{2}\sin(\omega x).
Aqui \omega=5, portanto a solução geral do problema (antes de aplicar condições iniciais) é
y(x)=C_{1}\cos(5x)+C_{2}\sin(5x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calcular a derivada y'(x) para aplicar a condição y'(0)=-1,2.
Derivando a expressão geral:
y'(x) = -5\,C_{1}\sin(5x) + 5\,C_{2}\cos(5x).
Agora avaliamos y(x) e y'(x) em x=0 e aplicamos as condições iniciais.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais e resolver para C_{1} e C_{2}.
Avaliação em x=0:
y(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)=C_{1}=4,6,
logo
C_{1}=4,6.
Para a derivada:
y'(0) = -5\,C_{1}\sin(0)+5\,C_{2}\cos(0)=5\,C_{2}=-1,2.
Logo
C_{2}=-\dfrac{1,2}{5}=-0,24.

Resposta

y(x)=4,6\cos(5x)-0,24\sin(5x)

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