Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{\cos x}{1+y}, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial
\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{1+y},\quad y(0)=0.
O método que vamos usar é o de variáveis separáveis, pois dá para isolar todos os termos com y num lado e os de x no outro.

Passo 2

Separamos variáveis multiplicando ambos os lados por (1+y)\,dx:
(1+y)\,dy = \cos x\,dx.
Agora temos o lado esquerdo só em y e o direito só em x.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int (1+y)\,dy \;=\;\int \cos x\,dx.
No lado esquerdo
\int (1+y)\,dy = \int 1\,dy + \int y\,dy = y + \frac{y^2}{2},
e no direito
\int \cos x\,dx = \sin x + C,
onde C é constante de integração. Logo obtemos
y + \frac{y^2}{2} = \sin x + C.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0 e y=0 na última relação, temos
0 + \frac{0^2}{2} = \sin 0 + C \quad\Longrightarrow\quad 0 = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C=0.
Portanto a solução implícita fica
y + \frac{y^2}{2} = \sin x.

Passo 5

Para obter y de forma explícita, escrevemos
\frac{y^2}{2} + y - \sin x = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^2 + 2y - 2\sin x = 0.
Essa é uma equação quadrática em y. Usando a fórmula de Baskhara:
y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8\sin x}}{2} = -1 \pm \sqrt{1 + 2\sin x}.
Para escolher o sinal, verificamos em x=0: \sin0=0
y(0) = -1 \pm 1.
Como queremos y(0)=0, escolhemos o sinal +, pois -1+1=0.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = -1 + \sqrt{1 + 2\sin x}.

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