Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial
O método que vamos usar é o de variáveis separáveis, pois dá para isolar todos os termos com
num lado e os de
no outro.
Passo 2
Separamos variáveis multiplicando ambos os lados por
:
Agora temos o lado esquerdo só em
e o direito só em
.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo
e no direito
onde
é constante de integração. Logo obtemos
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
na última relação, temos
Portanto a solução implícita fica
Passo 5
Para obter
de forma explícita, escrevemos
Essa é uma equação quadrática em
. Usando a fórmula de Baskhara:
Para escolher o sinal, verificamos em
:
dá
Como queremos
, escolhemos o sinal
, pois
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é