Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}}, \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de valor inicial
\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y^{2}}, com a condição y(1)=2.
Esse é um caso de equação diferencial separável, ou seja, podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro, e então integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por y^{2}\,dx:
y^{2}\,dy \;=\;2x\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
\int y^{2}\,dy \;=\;\int 2x\,dx.
Isso resulta em
\frac{y^{3}}{3}=x^{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Use a condição inicial y(1)=2. Substituindo x=1 e y=2 na expressão acima:
\frac{2^{3}}{3}=1^{2}+C \quad\Longrightarrow\quad \frac{8}{3}=1+C \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{5}{3}.

Passo 5

Reescrevendo a solução com esse C e isolando y:
\frac{y^{3}}{3}=x^{2}+\frac{5}{3} \;\Longrightarrow\; y^{3}=3x^{2}+5 \;\Longrightarrow\; y=\bigl(3x^{2}+5\bigr)^{\tfrac{1}{3}}.

Resposta

y(x)=\bigl(3x^{2}+5\bigr)^{\tfrac{1}{3}}.

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