Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{x e^{x}}{y \sqrt{y^{2}+1}}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
\frac{dy}{dx} = \frac{x e^x}{y\sqrt{y^2+1}}, \quad y(0)=1.
Isso é uma equação de variáveis separáveis. Para resolver, vamos separar os termos em y de um lado e em x do outro, e então integrar.

Passo 2

Escrevemos
\frac{dy}{dx} = \frac{x e^x}{y\sqrt{y^2+1}} \quad\Longrightarrow\quad y\sqrt{y^2+1}\,dy = x e^x \,dx.

Passo 3

Integramos o lado em y. Com a substituição u=y^2+1, vem du=2y\,dy, logo
\int y\sqrt{y^2+1}\,dy = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{2} = \frac12\int u^{1/2}du = \frac12\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{1}{3}(y^2+1)^{3/2}.

Passo 4

Integramos o lado em x por partes:
\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C.
Assim, a integração dá
\frac{1}{3}(y^2+1)^{3/2} = x e^x - e^x + C.

Passo 5

Impondo y(0)=1, avaliamos em x=0:
\frac{1}{3}(1^2+1)^{3/2} = \frac{1}{3}\cdot2^{3/2} = \frac{2\sqrt2}{3},
e o lado direito é 0\cdot1 -1 +C = -1+C. Logo
-1 + C = \frac{2\sqrt2}{3} \quad\Longrightarrow\quad C = 1 + \frac{2\sqrt2}{3} = \frac{3 + 2\sqrt2}{3}.

Passo 6

Substituindo C de volta, multiplicamos tudo por 3 para simplificar:
(y^2+1)^{3/2} = 3\bigl(x e^x - e^x\bigr) + 3 + 2\sqrt2 = 3(x-1)e^x + 3 + 2\sqrt2.
Para isolar y, escrevemos
y^2 + 1 = \bigl[\,3(x-1)e^x + 3 + 2\sqrt2\bigr]^{2/3},
e como y(0)=1>0, escolhemos o sinal positivo:
y = \sqrt{\bigl[\,3(x-1)e^x + 3 + 2\sqrt2\bigr]^{2/3} - 1}.

Resposta

(y^2+1)^{3/2} = 3(x-1)e^x + 3 + 2\sqrt2 \quad\Longleftrightarrow\quad y(x) = \sqrt{\bigl[\,3(x-1)e^x + 3 + 2\sqrt2\bigr]^{2/3} - 1}.

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