Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
12.) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e os valores de x para os quais converge a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}.
O conteúdo é determinação de raio de convergência via teste da raiz (ou razão) e análise nos pontos extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz: para
a_n = \frac{x^{2n-1}}{2n-1},
calculamos
\lim_{n\to\infty}\bigl|a_n\bigr|^{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{(2n-1)/n}}{(2n-1)^{1/n}} =\lim_{n\to\infty}|x|^{2-\frac1n}\cdot(2n-1)^{-1/n} =|x|^2.
O teste da raiz diz que a série converge se esse limite for <1.

Passo 3

Da condição |x|^2<1 segue |x|<1. Portanto o raio de convergência é
R=1
e há convergência absoluta para |x|<1.

Passo 4

Verificamos os extremos:
- Em x=1 a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1},
que é divergente por comparação com \sum1/n.
- Em x=-1 a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n-1}}{2n-1} =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1},
também divergente.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e a série converge exatamente para
-1<x<1.

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