Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
14.) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(x-2)^{2 n}}{2 n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e os valores de x para os quais converge a série de potência
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}(x-2)^{2n}}{2n}.
O conteúdo é análise de séries de potência, e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e depois verificar os extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à n-ésima e (n+1)-ésima parcelas:
a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{2n}(x-2)^{2n}, \quad a_{n+1} = \frac{(-1)^n}{2(n+1)}(x-2)^{2(n+1)}.
Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(-1)^n}{2(n+1)}\frac{2n}{(-1)^{n-1}}\,(x-2)^2\right| = \frac{n}{n+1}\,|x-2|^2.
Fazendo n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x-2|^2.
Pela razão, converge se |x-2|^2<1.

Passo 3

Logo o raio de convergência é
R = 1,
isto é, a série converge quando
|x-2|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1<x<3.

Passo 4

Precisamos testar os extremos x=1 e x=3. Em ambos temos (x-2)^2=1, logo a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n},
que é uma série alternante cujos termos \tfrac1{2n} decrescem para zero. Pelo teste de Leibniz, essa série converge. Em contrapartida, a série de termos absolutos
\sum1/(2n) diverge (harmônica), logo a convergência é condicional em x=1 e em x=3.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Converge para \,|x-2|<1, isto é, 1<x<3, e também converge condicionalmente em x=1 e em x=3.

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