Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
14.) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(x-2)^{2 n}}{2 n}
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e os valores de x para os quais converge a série de potência
Precisamos testar os extremos x=1 e x=3. Em ambos temos (x-2)^2=1, logo a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n},
que é uma série alternante cujos termos \tfrac1{2n} decrescem para zero. Pelo teste de Leibniz, essa série converge. Em contrapartida, a série de termos absolutos \sum1/(2n) diverge (harmônica), logo a convergência é condicional em x=1 e em x=3.
Resposta
Raio de convergência: R=1.
Converge para \,|x-2|<1, isto é, 1<x<3, e também converge condicionalmente em x=1 e em x=3.