Resolva os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira. Encontre a solução de estado estacionário, se existir.
(b) llut=ux x & se 0<x<10 e t>0, u(0, t)=0, u(10, t)=100 & se t <= 0, u(x, 0)=ll0 & se 0 <= x<5, 100 & se 5<x <= 10

Passo 1

O problema é a equação do calor em uma barra de comprimento
e condição inicial
Queremos achar a solução . Vamos usar a decomposição
onde é o estado estacionário (solução de com as mesmas condições de fronteira) e satisfaz condição de contorno homogênea.

Passo 2

Encontrando o estado estacionário w(x):
w''(x)=0, w(0)=0,;w(10)=100
Integrando duas vezes vem
w(x)=Ax+B,
e impondo w(0)=B=0, w(10)=10A=100 A=10. Logo
w(x)=10,x

Passo 3

Definimos v(x,t)=u(x,t)-w(x). Então
vt=ut-0=uxx-w''=vxx,
e as condições de contorno tornam-se
v(0,t)=u(0,t)-w(0)=0-0=0, v(10,t)=u(10,t)-w(10)=100-100=0
A condição inicial é
v(x,0)=u(x,0)-w(x)= -10x,&0<= x<5, 100-10x,&5<x<=10

Passo 4

Para resolver vt=vxx com v(0,t)=v(10,t)=0 usamos separação de variáveis e expandimos em série de senos:
v(x,t) =sumn=1^inftyBn,e^-l(tfracnpi10r)^2t,sin!l(tfracnpi10xr)
Os coeficientes Bn vêm da projeção de v(x,0) na base sin(npi x/10):
Bn=210 integral0^10v(x,0),sin!l(tfracnpi10xr),dx

Passo 5

Calculando essa integral por partes em cada tramo e usando que sin(npi)=0, obtemos que Bn=0 para n ímpar, e para n=2m ( m=1,2,dots)
B2m =100,(-1)^mmpi
Substituindo de volta, reescrevendo sinl(tfrac2mpi10xr)=sinl(tfracmpi5xr) e o decaimento exponencial exp(-(tfrac2mpi10)^2t)=exp(-(tfracmpi5)^2t), vem

Passo 6

A solução completa é
u(x,t) =10x +summ=1^infty 100,(-1)^mmpi exp!l(-l(tfracmpi5r)^2tr) sin!l(tfracmpi5xr)

Resposta

A solução do problema é
u(x,t) =10,x +summ=1^infty 100,(-1)^mmpi exp!l(-l(tfracmpi5r)^2tr) sin!l(tfracmpi5xr)
O estado estacionário (solução quando ttoinfty) é
us(x)=10,x

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