Resolva os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira. Encontre a solução de estado estacionário, se existir.
(b)
(b)
Passo 1
O problema é a equação do calor em uma barra de comprimento
e condição inicial
Queremos achar a solução . Vamos usar a decomposição
onde
é o estado estacionário (solução de
com as mesmas condições de fronteira) e
satisfaz condição de contorno homogênea.
Passo 2
Encontrando o estado estacionário
w(x) :
Integrando duas vezes vem
e impondo
w(0)=B=0 ,
w(10)=10A=100 dá
A=10 . Logo
Passo 3
Definimos
v(x,t)=u(x,t)-w(x) . Então
e as condições de contorno tornam-se
A condição inicial é
Passo 4
Para resolver
vt=vxx com
v(0,t)=v(10,t)=0 usamos separação de variáveis e expandimos em série de senos:
Os coeficientes
Bn vêm da projeção de
v(x,0) na base
sin(npi x/10) :
Passo 5
Calculando essa integral por partes em cada tramo e usando que
sin(npi)=0 , obtemos que
Bn=0 para
n ímpar, e para
n=2m (
m=1,2,dots )
Substituindo de volta, reescrevendo
sinl(tfrac2mpi10xr)=sinl(tfracmpi5xr) e o decaimento exponencial
exp(-(tfrac2mpi10)^2t)=exp(-(tfracmpi5)^2t) , vem
Passo 6
A solução completa é
Resposta
A solução do problema é
O estado estacionário (solução quando
ttoinfty ) é