Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(k) y^{\prime}=\frac{2 x}{y+x^{2} y}, y(0)=-2
(k) y^{\prime}=\frac{2 x}{y+x^{2} y}, y(0)=-2
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
e
As informações relevantes são: a expressão para
em função de
e
, e o valor inicial
. A tarefa é encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e essa condição inicial.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão do lado direito para perceber o tipo de equação. Note que podemos fatorar
no denominador:
Substituindo na equação obtemos
Isto já dá uma pista útil: podemos tentar separar variáveis (colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro). Vou explicar o que significa separar variáveis: é uma técnica para equações da forma
. A ideia é escrever
e integrar ambos os lados.
Passo 3
Aplicando separação de variáveis à nossa equação, escrevemos
como
e multiplicamos ambos os lados por
(válido enquanto consideramos soluções com
, o que é compatível com a condição inicial
):
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
. O próximo passo é integrar ambos os lados.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Vou mostrar cada integral com calma.
- À esquerda, a integral de
em relação a é uma primitiva direta:
Aqui usamos a regra
.
- À direita, observe que a derivada de
é , então podemos usar a substituição , . Assim
onde usei
(a expressão é não negativa em todo
, então o valor absoluto não altera a forma).
Portanto, após integrar obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Multiplicando por
para simplificar a expressão:
onde
é outra constante arbitrária. Agora usamos a condição inicial para encontrar
. Para
temos
, então:
Isso dá
logo
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora resolvemos para
. A solução geral a partir desta equação é
Precisamos escolher o sinal correto usando a condição inicial
. Como
é negativo, devemos tomar o sinal negativo do radical para que a solução satisfaça a condição inicial. Também é bom verificar a validade do argumento do radical: para todo
temos
e portanto
, então
. Isso garante que a raiz quadrada está bem definida para todos os
reais e que a solução escolhida é válida globalmente.