Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(k) y^{\prime}=\frac{2 x}{y+x^{2} y}, y(0)=-2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
y'=\frac{2x}{y+x^{2}y}
e
y(0)=-2.
As informações relevantes são: a expressão para y' em função de x e y, e o valor inicial \,y(0)=-2. A tarefa é encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e essa condição inicial.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do lado direito para perceber o tipo de equação. Note que podemos fatorar y no denominador:
y+x^{2}y = y(1+x^{2}).
Substituindo na equação obtemos
y'=\frac{2x}{y(1+x^{2})}.
Isto já dá uma pista útil: podemos tentar separar variáveis (colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro). Vou explicar o que significa separar variáveis: é uma técnica para equações da forma \frac{dy}{dx}=g(x)h(y). A ideia é escrever \frac{1}{h(y)}dy=g(x)\,dx e integrar ambos os lados.

Passo 3

Aplicando separação de variáveis à nossa equação, escrevemos \frac{dy}{dx} como y' e multiplicamos ambos os lados por y\,dx (válido enquanto consideramos soluções com y\neq0, o que é compatível com a condição inicial y(0)=-2\neq0):
y\,dy = \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x. O próximo passo é integrar ambos os lados.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Vou mostrar cada integral com calma.
\int y\,dy = \int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
  • À esquerda, a integral de y em relação a y é uma primitiva direta:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
Aqui usamos a regra \int t\,dt = \tfrac{t^{2}}{2}.
  • À direita, observe que a derivada de 1+x^{2} é 2x, então podemos usar a substituição u=1+x^{2}, du=2x\,dx. Assim
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln(1+x^{2}) + C,
onde usei \ln(1+x^{2}) (a expressão é não negativa em todo \mathbb{R}, então o valor absoluto não altera a forma).
Portanto, após integrar obtemos
\frac{y^{2}}{2} = \ln(1+x^{2}) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por 2 para simplificar a expressão:
y^{2} = 2\ln(1+x^{2}) + C_{1},
onde C_{1}=2C é outra constante arbitrária. Agora usamos a condição inicial para encontrar C_{1}. Para x=0 temos y(0)=-2, então:
(-2)^{2} = 2\ln(1+0^{2}) + C_{1}.
Isso dá
4 = 2\ln(1) + C_{1} = 0 + C_{1},
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C_{1}=4.
Substituindo de volta:
y^{2} = 2\ln(1+x^{2}) + 4.

Passo 6

Agora resolvemos para y. A solução geral a partir desta equação é
y(x)=\pm\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+4\,}.
Precisamos escolher o sinal correto usando a condição inicial y(0)=-2. Como y(0) é negativo, devemos tomar o sinal negativo do radical para que a solução satisfaça a condição inicial. Também é bom verificar a validade do argumento do radical: para todo x\in\mathbb{R} temos 1+x^{2}\ge1 e portanto \ln(1+x^{2})\ge0, então 2\ln(1+x^{2})+4\ge4>0. Isso garante que a raiz quadrada está bem definida para todos os x reais e que a solução escolhida é válida globalmente.

Resposta

y(x)=-\sqrt{\,2\ln(1+x^{2})+4\,}

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