Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(h)
’
(h)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Informações dadas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - Queremos achar a função
que satisfaça a equação e a condição inicial.
Passo 2
Identificação do tipo de equação e estratégia:
- A equação é separável: isso significa que podemos escrever os termos com
de um lado e os termos com do outro, multiplicando ambos os lados por expressões adequadas. - A ideia é transformar a equação em uma forma
e então integrar ambos os lados. - Vou usar essa técnica porque ela é direta e adequada quando a derivada pode ser escrita como produto de função de
e função de separadas.
Passo 3
Separando variáveis passo a passo:
Partimos de
Partimos de
Multiplicamos ambos os lados por
para agrupar os termos em
e
:
Agora temos a variável
só do lado esquerdo e
só do lado direito — prontos para integrar.
Passo 4
Integração de ambos os lados:
Integramos lado a lado:
Integramos lado a lado:
- O lado esquerdo é simples:
. - Para o lado direito usamos substituição. Seja
. Então , portanto .
Assim
Observação sobre o valor absoluto: a integral do tipo
dá
. Depois poderemos analisar o sinal de
para o domínio da solução.
- Juntando as integrais (podemos agrupar as constantes
e numa constante única ):
Passo 5
Aplicando a condição inicial para determinar a constante:
Usamos . Substituindo
e
na expressão integrada:
Usamos
Como
, segue que
.
Portanto a relação com a constante fica
Portanto a relação com a constante fica
Passo 6
Isolando
e escolhendo o sinal correto:
Multiplicamos por :
Multiplicamos por
Então
Para escolher o sinal usamos a condição inicial: em
temos
. Assim devemos tomar o sinal positivo para que a solução passe por
. Logo
Passo 7
Domínio e observações finais (úteis para a prova):
- A expressão dentro da raiz deve ser não negativa e o argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo. O termo
exige . Como a condição inicial está em , um domínio natural contendo é , isto é . Nessa região podemos remover o valor absoluto e escrever . - Portanto, numa vizinhança de
(por exemplo para ) a solução com a condição inicial é
- Sempre que for apresentar a solução numa prova, é bom mencionar o domínio onde a solução está definida (aqui pelo menos
) e justificar a escolha do sinal pela condição inicial.