Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(h) y^{\prime}=\frac{x^{2}}{y\left(1+x^{3}\right)}, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'=\frac{x^{2}}{y\left(1+x^{3}\right)},\qquad y(0)=1.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é \displaystyle y'=\frac{x^{2}}{y(1+x^{3})}.
  • A condição inicial é \displaystyle y(0)=1.
  • Queremos achar a função y(x) que satisfaça a equação e a condição inicial.

Passo 2

Identificação do tipo de equação e estratégia:
  • A equação é separável: isso significa que podemos escrever os termos com y de um lado e os termos com x do outro, multiplicando ambos os lados por expressões adequadas.
  • A ideia é transformar a equação em uma forma \displaystyle g(y)\,dy = h(x)\,dx e então integrar ambos os lados.
  • Vou usar essa técnica porque ela é direta e adequada quando a derivada pode ser escrita como produto de função de x e função de y separadas.

Passo 3

Separando variáveis passo a passo:
Partimos de
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y(1+x^{3})}.
Multiplicamos ambos os lados por y\,dx para agrupar os termos em y e x:
y\,dy=\frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.
Agora temos a variável y só do lado esquerdo e x só do lado direito — prontos para integrar.

Passo 4

Integração de ambos os lados:
Integramos lado a lado:
\int y\,dy=\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.
  • O lado esquerdo é simples: \displaystyle \int y\,dy=\frac{1}{2}y^{2}+C_{1}.
  • Para o lado direito usamos substituição. Seja \displaystyle u=1+x^{3}. Então \displaystyle du=3x^{2}\,dx, portanto \displaystyle x^{2}\,dx=\frac{1}{3}\,du.
    Assim
\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{3}\,du=\frac{1}{3}\ln|u|+C_{2}=\frac{1}{3}\ln|1+x^{3}|+C_{2}.
Observação sobre o valor absoluto: a integral do tipo \int \frac{1}{u}du \ln|u|. Depois poderemos analisar o sinal de 1+x^{3} para o domínio da solução.
  • Juntando as integrais (podemos agrupar as constantes C_{1} e C_{2} numa constante única C):
\frac{1}{2}y^{2}=\frac{1}{3}\ln|1+x^{3}|+C.

Passo 5

Aplicando a condição inicial para determinar a constante:
Usamos \displaystyle y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 na expressão integrada:
\frac{1}{2}\cdot 1^{2}=\frac{1}{3}\ln|1+0^{3}|+C \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}=\frac{1}{3}\ln|1|+C.
Como \ln|1|=0, segue que C=\frac{1}{2}.
Portanto a relação com a constante fica
\frac{1}{2}y^{2}=\frac{1}{3}\ln|1+x^{3}|+\frac{1}{2}.

Passo 6

Isolando y e escolhendo o sinal correto:
Multiplicamos por 2:
y^{2}=\frac{2}{3}\ln|1+x^{3}|+1.
Então
y=\pm\sqrt{1+\frac{2}{3}\ln|1+x^{3}|}.
Para escolher o sinal usamos a condição inicial: em x=0 temos y(0)=1>0. Assim devemos tomar o sinal positivo para que a solução passe por y(0)=1. Logo
y(x)=\sqrt{1+\frac{2}{3}\ln|1+x^{3}|}.

Passo 7

Domínio e observações finais (úteis para a prova):
  • A expressão dentro da raiz deve ser não negativa e o argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo. O termo |1+x^{3}| exige 1+x^{3}\neq 0. Como a condição inicial está em x=0, um domínio natural contendo 0 é 1+x^{3}>0, isto é x>-1. Nessa região podemos remover o valor absoluto e escrever \ln(1+x^{3}).
  • Portanto, numa vizinhança de x=0 (por exemplo para x>-1) a solução com a condição inicial é
y(x)=\sqrt{1+\frac{2}{3}\ln(1+x^{3})}.
  • Sempre que for apresentar a solução numa prova, é bom mencionar o domínio onde a solução está definida (aqui pelo menos x>-1) e justificar a escolha do sinal pela condição inicial.

Resposta

\displaystyle y(x)=\sqrt{1+\frac{2}{3}\ln(1+x^{3})}

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