Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(l) y{\prime}=\frac{y{3}}{1-2 x y^{2}}, y(0)=1
(l) y{\prime}=\frac{y{3}}{1-2 x y^{2}}, y(0)=1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial
O que se pede é a solução
que satisfaz essa EDO e a condição inicial. Informações relevantes que temos: a derivada é dada em termos de
e
; o valor inicial é
. Não assumimos nada mais — vamos transformar a equação de modo que possamos resolvê‑la.
Passo 2
Reescrevo a EDO isolando
(ou seja, trato
como função de
). Isso é permitido e muitas vezes simplifica quando a equação tem dependência combinada em
e
. Começo por inverter a derivada:
Agora espalho os termos:
Observe que essa é uma equação linear em
vista como função de
: ela tem a forma padrão
onde aqui
e
.
Passo 3
Para resolver uma linear no formato
usamos o fator integrante
. Vou calcular:
onde usei que perto da condição inicial
podemos tomar
e então
. Multiplico a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Logo:
Passo 4
Integro em relação a
:
onde
é constante de integração. Assim obtemos a solução implícita
Passo 5
Uso a condição inicial
. Para
e
temos
portanto
. A relação entre
e
fica
Como estamos em torno de
, troco
por
. Essa é uma forma implícita da solução:
. Vou agora isolar
explicitamente, porque é útil e padrão em provas.
Passo 6
Começo a transformar
para obter
explicitamente. Exponencio ambos os lados:
Definindo
(assim
e
), elevando ao quadrado a expressão
obtemos
Rearranjo para ter uma expressão do tipo
. Multiplico ambos os lados por
:
Multiplico por
(supondo momentaneamente
; depois tratamos
por limite):
Agora seja
. Então a última igualdade é
Passo 7
Introduzo a função de Lambert
, que é definida como solução de
; isto é,
. Aplicando isso com
obtemos
Voltando à definição
, temos
Isolando
obtemos
Como
, isto dá
Tomando a raiz positiva (porque a solução passa por
), chegamos à solução explícita
válida para
e que se estende continuamente em
pelo limite.
Passo 8
Comentário sobre ramo e continuidade: a expressão usa
. Para obter a solução que satisfaz
e que é contínua em
escolhemos o ramo principal
da função de Lambert (pois para pequenos
temos
). De fato, ao tomar o limite
,
portanto
conferindo a condição inicial. Observação sobre domínio: a representação explícita em termos de
exige cuidado em pontos onde o argumento de
cruza os limites do ramo real (por exemplo
para valores reais). Para o problema de valor inicial, a solução contínua em
é obtida com o ramo principal
.