Resolva os seguintes problemas de valor inicial. (Note que tratam-se de Equações de Bernoulli.)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que é uma equação de Bernoulli de parâmetro
. Vamos usar a técnica padrão para esse tipo de equação.
Passo 2
A equação de Bernoulli tem a forma
Aqui identificamos
Fazemos a substituição
pois isso transforma a equação não-linear em uma linha linear.
Passo 3
Para relacionar
e
derivamos:
Isolando
em termos de
, temos
Substituindo na equação original e multiplicando por
obtemos
que é uma equação linear em
.
Passo 4
Para resolver
calculamos o fator integrante:
Multiplicando toda a equação por
:
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Precisamos de
Fazendo integração por partes duas vezes obtemos
Logo
Passo 6
Voltando à variável original,
, temos
Aplicando a condição inicial
:
logo
Passo 7
Substituindo
na expressão de
e extraindo a raiz cúbica, obtemos a solução do problema de valor inicial.