Resolva os seguintes problemas de valor inicial. (Note que tratam-se de Equações de Bernoulli.)
ly^prime+1x y=(cos x) y^-2 y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'+1x,y=(cos x),y^-2, y(1)=1,
que é uma equação de Bernoulli de parâmetro n=-2. Vamos usar a técnica padrão para esse tipo de equação.

Passo 2

A equação de Bernoulli tem a forma
y'+P(x)y=Q(x)y^n
Aqui identificamos
P(x)=1x, Q(x)=cos x, n=-2
Fazemos a substituição
v=y^1-n=y^1-(-2)=y^3,
pois isso transforma a equação não-linear em uma linha linear.

Passo 3

Para relacionar v e y derivamos:
dvdx=3y^2dydx
Isolando y' em termos de dv/dx, temos
y'=13y^-2dvdx
Substituindo na equação original e multiplicando por 3y^2 obtemos
dvdx+3xv=3cos x,
que é uma equação linear em v(x).

Passo 4

Para resolver
dvdx+3xv=3cos x,
calculamos o fator integrante:
mu(x)=expl(integral3xdxr)=x^3
Multiplicando toda a equação por x^3:
ddxl(x^3vr)=3x^3cos x
Integramos ambos os lados:

Passo 5

Precisamos de
integral3x^3cos x,dx
Fazendo integração por partes duas vezes obtemos
integral3x^3cos x,dx=3x^3sin x+9x^2cos x-18xsin x-18cos x+C
Logo
x^3v=3x^3sin x+9x^2cos x-18xsin x-18cos x+C

Passo 6

Voltando à variável original, v=y^3, temos
y^3=3x^3sin x+9x^2cos x-18xsin x-18cos x+Cx^3
Aplicando a condição inicial y(1)=1:
1^3=3sin1+9cos1-18sin1-18cos1+C1^3
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C=1+15sin1+9cos1

Passo 7

Substituindo C na expressão de y^3 e extraindo a raiz cúbica, obtemos a solução do problema de valor inicial.

Resposta

y(x)=[3x^3sin x+9x^2cos x-18xsin x-18cos x+1+15sin1+9cos1x^3]^1/3

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