Resolva os seguintes problemas de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares homogêneas e particulares. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma 
Como 
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática 
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde 
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
Observando o lado direito, vemos que é uma função exponencial 
Passo 6
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Vamos substituir 
Passo 7
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Passo 8
Portanto, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 10
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar 
Primeiro, para 
Passo 11
Agora, encontramos 
Aplicando a condição 
Passo 12
Agora temos o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo 
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
