Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime-y^prime-2 y=e^35 ; y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
y'' - y' - 2y = e^35
com as condições iniciais:
y(0) = 1
y'(0) = 2
Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares homogêneas e particulares. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - y' - 2y = 0
Para isso, assumimos que a solução tem a forma y = e^rt. Substituindo na equação:
r^2 e^rt - r e^rt - 2 e^rt = 0
e^rt(r^2 - r - 2) = 0
Como e^rt nunca é zero, resolvemos a equação característica:
r^2 - r - 2 = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática r^2 - r - 2 = 0. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, as raízes são:
r1 = 2
r2 = -1

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-t
onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa:
y'' - y' - 2y = e^35
Observando o lado direito, vemos que é uma função exponencial e^35, que podemos tratar como e^kt com k = 35.

Passo 6

Assumimos que a solução particular tem a forma:
yp(t) = A e^35t
Vamos substituir yp na equação diferencial para encontrar o valor de A.

Passo 7

Calculando as derivadas:
yp' = 35A e^35t
yp'' = 35^2 A e^35t
Substituindo na equação:
35^2 A e^35t - 35A e^35t - 2A e^35t = e^35t
Simplificando:
(1225A - 35A - 2A) e^35t = e^35t
(1188A) e^35t = e^35t
Então:
1188A = 1
A = 11188

Passo 8

Portanto, a solução particular é:
yp(t) = 11188 e^35t

Passo 9

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t)
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t + 11188 e^35t

Passo 10

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
Primeiro, para t = 0:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 + 11188 e^0 = C1 + C2 + 11188 = 1
C1 + C2 = 1 - 11188 = 11871188

Passo 11

Agora, encontramos y'(t):
y'(t) = 2C1 e^2t - C2 e^-t + 351188 e^35t
Aplicando a condição y'(0) = 2:
2C1 e^0 - C2 e^0 + 351188 e^0 = 2C1 - C2 + 351188 = 2
2C1 - C2 = 2 - 351188 = 2376 - 351188 = 23411188

Passo 12

Agora temos o sistema:
C1 + C2 = 11871188 2C1 - C2 = 23411188
Somando as duas equações:
3C1 = 1187 + 23411188 = 35281188
C1 = 35283 times 1188 = 35283564 = 882891 = 9899
Substituindo C1 na primeira equação:
9899 + C2 = 11871188
C2 = 11871188 - 9899 = 11871188 - 11761188 = 111188 = 111188

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 9899 e^2t + 111188 e^-t + 11188 e^35t

Exercícios relacionados