Resolva os seguintes problemas de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares homogêneas e particulares. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação:
Como
nunca é zero, resolvemos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Observando o lado direito, vemos que é uma função exponencial
, que podemos tratar como
com
.
Passo 6
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Vamos substituir
na equação diferencial para encontrar o valor de
.
Passo 7
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então:
Passo 8
Portanto, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 10
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Passo 11
Agora, encontramos
:
Aplicando a condição
:
Passo 12
Agora temos o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: