Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime-y^prime-2 y=e^3 x ; y(0)=2, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - y' - 2y = e^3x
com as condições iniciais:
y(0) = 2
y'(0) = 1
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos dividir a resolução em etapas para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo $ e^{3x} $:
e^3x
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação homogênea:
y'' - y' - 2y = 0
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero):
y = e^rx
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 e^rx - r e^rx - 2 e^rx = 0
Então, as raízes são:
e^rx
r^2 - r - 2 = 0

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^-x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
y'' - y' - 2y = e^3x
Como o lado direito é $ e^{3x} $, vamos tentar uma solução particular da forma:
e^3x
onde $ A $ é uma constante a ser determinada.

Passo 5

Vamos derivar $ y_p $ para substituir na equação:
yp
yp' = 3A e^3x
Substituindo na equação original:
yp'' = 9A e^3x
Simplificando:
9A e^3x - 3A e^3x - 2A e^3x = e^3x
(9A - 3A - 2A) e^3x = e^3x
Então:
4A e^3x = e^3x
4A = 1
Portanto, a solução particular é:
A = 14

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^2x + C2 e^-x + 14 e^3x

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, calculamos $ y(0) $:
C1
Então:
C2
Agora, calculamos a derivada da solução geral:
y(0)
Aplicando $ x = 0 $:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 + 14 e^0 = C1 + C2 + 14 = 2
Então:
C1 + C2 = 2 - 14 = 74 (1)

Passo 8

Agora, resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
C1 + C2 = 74 2C1 - C2 = 14
Somando as duas equações:
3C1 = 2
C1 = 23
Substituindo em (1):
23 + C2 = 74
C2 = 74 - 23 = 21 - 812 = 1312

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é:
y(x) = 23 e^2x + 1312 e^-x + 14 e^3x

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