Resolva os seguintes problemas de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos dividir a resolução em etapas para facilitar o entendimento!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo $ e^{3x} $:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rx} $. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero):
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é $ e^{3x} $, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde $ A $ é uma constante a ser determinada.
Passo 5
Vamos derivar $ y_p $ para substituir na equação:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, calculamos $ y(0) $:
Então:
Agora, calculamos a derivada da solução geral:
Aplicando $ x = 0 $:
Então:
Passo 8
Agora, resolvemos o sistema de equações (1) e (2):
Somando as duas equações:
Substituindo em (1):
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é: