Seja
uma matriz simétrica, positiva definida, isto é,
e
, para qualquer
não nulo. Por notação,
é o vetor coluna e
seu transposto. Os métodos numéricos do tipo gradiente para resolver sistemas lineares
têm como ideia básica minimizar a função de
, dada por:
Para simplificar, quando abrirmos as equações matriciais, o faremos supondo
n=2, embora o desenvolvimento seja o mesmo para um número arbitrário de componentes. Por exemplo, para verificar que
F(x) é uma função quadrática nas componentes do vetor
x, tomamos
n=2 na equação (1):
F(x1, x2)=12(a11 x1^2+2 a12 x1 x2+a22 x2^2)-b1 x1-b2 x2,
onde foi usada a simetria da matriz A. As curvas de nível da função
F(x1, x2) são elipses. Assim, o gráfico de
F é um parabolóide eliptíco e esta função tem um único mínimo. O mínimo da função é atingido no ponto que anula o gradiente da função, portanto
nabla F(x1, x2)=binompartial Fpartial x1partial Fpartial x2=binoma11 x1+a12 x2-b1a21 x1+a22 x2-b2=A x-b
Sendo assim,
nabla F=(0,0) significa
A x=b, isto é, a solução do sistema de equações lineares minimiza a função quadrática e vice-versa. Como sabemos, o vetor gradiente aponta a direção de crescimento máximo da função. Portanto, é natural que, nos passos de busca do mínimo, caminhemos na direção contrária ao gradiente, isto é:
x^(k+1)=x^(k)-sk nabla F(x^(k))
Assim, a aproximação num passo
k+1 é calculada a partir da aproximação no passo anterior, caminhando na direção contrária ao gradiente. O parâmetro real
sk regula o tamanho do passo na k-ésima iteração. Considerando
A=(ll4 & 2 2 & 5) e
b=binom-61, faça o que se pede:
b) Determine a lei de formação da função
F, como na expressão (3).