Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
b) y^prime prime+4 y=sin t U(t-2 pi), y(0)=1, y^prime(0)=0.
Resposta: y(t)=cos 2 t-16 sin 2(t-2 pi) U(t-2 pi)+13 sin (t-2 pi) U(t-2 pi).

Passo 1

Vamos resolver a EDO com forçamento descontínuo usando o método de superposição do homogeneamente mais a resposta ao degrau deslocado.

Passo 2

O homogêneo associado é
y''+4y=0 cuja solução geral é
yh(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)

Passo 3

Usando as condições iniciais em t=0:
y(0)=1Rightarrow A=1, y'(0)=0Rightarrow 2B=0Rightarrow B=0, logo
yh(t)=cos(2t)

Passo 4

Como o termo forçante é sin t,U(t-2pi), para t<2pi temos apenas a solução homogeneia:
y(t)=cos(2t), t<2pi

Passo 5

Para t>2pi, marcamos tau=t-2pi e definimos a resposta ao forçamento deslocado
z''+4z=sintau, z(0)=0, z'(0)=0 Procuramos
z(tau)=Ccos(2tau)+Dsin(2tau)+asintau Substituindo em z''+4z=sintau
3asintau=sintauRightarrow a=tfrac13, e impondo as condições iniciais em tau=0:
z(0)=C=0, z'(0)=2D+tfrac13=0Rightarrow D=-tfrac16 Assim
z(tau)=-tfrac16sin(2tau)+tfrac13sintau

Passo 6

Por fim, a solução completa é
y(t)=cos(2t)+U(t-2pi)l[-tfrac16sinl(2(t-2pi)r)+tfrac13sinl(t-2pir)r]

Resposta

y(t)=\cos(2t)-\tfrac{1}{6}\sin\bigl(2(t-2\pi)\bigr),U(t-2\pi)+\tfrac{1}{3}\sin\bigl(t-2\pi\bigr),U(t-2\pi)

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